cho hình bình hành ABCD có 2 đường chéo AC,BD cắt nhau tại O thoả mãn góc OAB=góc ODC chứng minh ABCD là hình chữ nhật
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn OA = OC và góc OAD = OCB. Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.
Lưu ý: Giải cách khác ngoài cách chứng minh 2 đường chéo
Xét ΔOAD và ΔOCB có
\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)
OA=OC
\(\widehat{AOD}=\widehat{COB}\)
Do đó: ΔOAD=ΔOCB
=>AD=BC
\(\widehat{OAD}=\widehat{OCB}\)
mà hai góc này ở vị trí so le trong
nên AD//BC
Xét tứ giác ABCD có
AD//BC
AD=BC
Do đó: ABCD là hình bình hành
Cho hình bình hành ABCD, Có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ A kẻ AE vuông góc với BD, từ C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng Tứ giác AECF là hình bình hành.
Xét ΔAED vuông tại E và ΔCFB vuông tại F có
AD=CB(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
\(\widehat{D}=\widehat{B}\)(Hai góc đối của hình bình hành ABCD)
Do đó: ΔAED=ΔCFB(cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: AE=CF(Hai cạnh tương ứng) và ED=FB(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ED+EC=DC(E nằm giữa D và C)
FB+FA=AB(F nằm giữa A và B)
mà AB=DC(Hai cạnh đối của hình bình hành ABCD)
và ED=FB(cmt)
nên EC=FA
Xét tứ giác ECFA có
EC=FA(cmt)
EA=CF(cmt)
Do đó: ECFA là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC = 2.AB. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh rằng EM vuông góc với đường chéo BD.
Theo chứng minh ở câu a. △ AEB đồng dạng △ ABC theo tỉ số k = 1/2 nên dễ thấy BE = 1/2 BC hay BE = BM
Suy ra: ΔBEM cân tại B.
Xét tam giác EBC có:
Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC
BO là đường phân giác góc ở đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).
Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo, H là hình chiếu của A trên OD . Biết rằng các góc DAH ; HAO ; OAB bằng nhau . Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Cho hình chữ nhật ABCD. Các đường chéo AC, BD cắt nhau tại O. Chứng minh 4 tam giác OAB,OBC,OCD,OAD có diện tích bằng nhau.
Cho hình bình hành ABCD,O là giao điểm của hai đường chéo. AH vuông góc BD .Biết các góc DAH;HAO;OAB bằng nhau.CMR ABCD là hình chữ nhật.
gọi góc DAH = góc HAO =góc OAB = x
Xét tam giác OAD cân tại A(....)
=> góc ADH = 90 độ - x (1)
=> góc DOC = 180 độ - 2x (góc ngoài)
_góc ACD=x ( soletrong ...)
Xét tam giác ODC có
góc ODC = 180 độ - góc ACD - góc DOC
=180 độ - 180 độ + 2x -x
= x
=> góc ODC = x (2)
từ (1) và (2) => góc ADC = 90 độ - x + x =90 độ
=> H.B.Hành có 1 góc vg=> đó là Hình Chữ Nhật (dpcm)
Cho hình bình hành ABCD. Các đường phân giác của các góc lần lượt cắt nhau tại E, F, G, H. Chứng minh:
a) EFGH là hình chữ nhật
b) Đường chéo của hình chữ nhật EFGH song song với cạnh hình bình hành ABCD
Lời giải:
Xét tam giác ADH và AOH có:
\(\widehat{DAH}=\widehat{OAH}\) (gt)
\(\widehat{AHD}=\widehat{AHO}=90^0\)
AH chung
\(\Rightarrow \triangle ADH=\triangle AOH(g.c.g)\) (1)
\(\Rightarrow AD=AO\Rightarrow \frac{AD}{AO}=1\)
Xét tam giác ADH và AOK có:
\(\widehat{AHD}=\widehat{AKO}=90^0\)
\(\widehat{DAH}=\widehat{OAB}=\widehat{OAK}\) (gt)
\(\Rightarrow \triangle ADH\sim \triangle AOK(g.g)\Rightarrow \frac{AH}{AK}=\frac{DH}{OK}=\frac{AD}{AO}=1\Rightarrow AH=AK;DH=OK\)
Vì AO là phân giác của \(\widehat{HAB}\) nên theo tính chất đường phân giác thì:
\(\frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}\)
Trong đó \(OH=DH\) (do (1)) nên \(OH=\frac{1}{2}OD\). Mà \(OD=OB\) theo tính chất hình bình hành
\(\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{OH}{OB}=\frac{1}{2}\)
Mà \(AH=AK\Rightarrow AK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AK=KB\)
Tam giác AOB có OK vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác AOB cân tại O. Do đó OA=OB hay AC=BD nên ABCD là hình chữ nhật (đpcm).
cho hình bình hành ABCD, có đường chéo AC>BD cắt nhau tại O,kẻ BE vuông góc với AC,DF vuông góc với AC,
a chứng minh tứ giác BEDF là hình bình hành
b gọi H,K lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thằng AB,CD.CHúng minh rằng CH.CD=CB.CK
c chứng minh AB.AH+AD.AK=AC2
a) \(BE;DF\perp AC\text{ nên }BE//DF\)
\(\Delta BEO=\Delta DFO\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BE = FD
\(\Rightarrow\Delta BEDF\text{ là }HBH\)
b) \(\Delta BHC~\Delta DKC\) (g.g)
\(\widehat{H}=\widehat{G}=90^o\)
\(\widehat{CBH}=\widehat{CDK}\) (vì 2 góc này kề bù vs 2 góc bằng nhau là \(\widehat{CBA}=\widehat{ADC}\))
\(\Rightarrow\frac{BC}{DC}=\frac{HC}{KC}\)
\(\Rightarrow CB.CK=CH.CD\)
c) Ta có: \(\Delta ABE~\Delta ACH\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}\)
\(\Rightarrow AB.AH=AE.AC\)
\(\Leftrightarrow AD.AK=AF.AC\)
\(\Rightarrow AB.AH+AD.AK=AC.\left(AF+AE\right)=AC.2AO=AC^2\)