Giúp mình với!!! Bài này về bất đẳng thức Cauchy ak!!!
1. Cho x > 1 hãy tìm GTNN của:
P=\(\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\)
2. Tìm GTNN của:
B=\(\dfrac{x+15}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\)
\(\left(x\ge0;x\ne1,x\ne9\right)\)
Cho các biểu thức sau:
A = \(\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}\) và B = \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{2\sqrt{x}}{1-x}\) với \(x\ge0;x\ne1\)
a) Rút gọn các biểu thức B
b) Cho \(P=B:A\). Với \(x>1\), tìm GTNN của biểu thức \(\dfrac{1}{P}\)
a.
\(B=\dfrac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)+2\sqrt{x}}{1-x}=\dfrac{\sqrt{x}+1+x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{1-x}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
b.
\(P=\dfrac{B}{A}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}+1}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(x+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{x-1+4}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\sqrt{x}+1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}\)\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}+2\)
Theo BĐT AM - GM ta có: \(\sqrt{x}-1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right)\dfrac{4}{\sqrt{x}-1}}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{P}\ge6\Rightarrow Min_{\dfrac{1}{P}}=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2=4\Rightarrow x=9\) (loại trường hợp \(\sqrt{x}-1=-2\))
Vậy GTNN của biểu thức \(\dfrac{1}{P}=6\) khi x = 9.
Cho các biểu thức sau:
A = \(\dfrac{x+\sqrt{x}+10}{x-9}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\) và B = \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-3}\) với \(x\ge0;x\ne9\)
a) Rút gọn biểu thức \(M=\dfrac{A}{B}\)
b) Tìm GTNN của biểu thức M
a: M=A:B
\(=\dfrac{x+\sqrt{x}+10-\sqrt{x}-3}{x-9}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{1}=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}+3}\)
b: \(M=\dfrac{x-9+16}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}\)
=>\(M=\sqrt{x}+3+\dfrac{16}{\sqrt{x}+3}-6>=2\sqrt{16}-6=2\)
Dấu = xảy ra khi (căn x+3)^2=16
=>căn x+3=4
=>x=1
Cho các biểu thức sau (giải chi tiết)
A = \(\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\) và B = \(\dfrac{2x+3\sqrt{x}+9}{x-9}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\) với \(x\ge0;x\ne9\)
a) Rút gọn biểu thức B
b) Cho \(P=\dfrac{A}{B}\). Tìm GTNN của P
a: \(B=\dfrac{2x+3\sqrt{x}+9-x+3\sqrt{x}}{x-9}=\dfrac{x+9}{x-9}\)
b: \P=A:B
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\cdot\dfrac{x-9}{x+9}=\dfrac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{x+9}>=\dfrac{-1\cdot3}{9}=\dfrac{-1}{3}\)
Dấu = xảy ra khi x=0
Cho biểu thức P = \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}\) (với x>0; x\(\ne\)0)
a,Rút gọn biểu thức P và tìm x để P = \(\dfrac{-3}{5}\)
b,Tìm GTNN của biểu thức A=P . \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(a,P=\dfrac{\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{-2}{\sqrt{x}+2}\\ P=-\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{3}{5}\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}+6=10\Leftrightarrow\sqrt{x}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{16}{9}\left(tm\right)\)
Cho hai biểu thức:
A = \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\) và B = \(\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{8+2\sqrt{x}}{x-4}\) với \(x\ge0;x\ne4\)
Biểu thức B sau khi thu gọn được B = \(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\). Tìm các giá trị của x để \(P=3A+2B\) đạt GTNN
Ta có : \(P=3A+2B\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+2\right)-1}{\sqrt{x}+2}=2-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)
Do \(x\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge0\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\ge-1\)
\(\Rightarrow P=2-\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\ge-1+2=1.\)
Vậy : \(MinP=1.\) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=0.\)
cho 2 biểu thức :
\(A=\dfrac{\sqrt{x}+2}{1-\sqrt{x}};B=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}-6}-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)
1, Rút gọn B
2, Đặt P=A.B
Tìm x ∈ Z .Tìm GTNN của P
1: \(B=\dfrac{2\sqrt{x}-x-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{-x}{\left(\sqrt{x}-2\right)\cdot\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)
Cho biểu thức D = \(\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+3}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)\)
với \(x\ne9,x\ge0\)
a) Rút gọn D
b)Tìm x để \(D< \dfrac{-1}{4}\)
a) \(D=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+3}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\dfrac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{-3\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}.\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{-3}{\sqrt{x}+3}\)
b) \(D=-\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}< -\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow12>\sqrt{x}+3\Leftrightarrow\sqrt{x}< 9\)
\(\Leftrightarrow0\le x< 81\) và \(x\ne9\)
a) D=\(\left(\dfrac{2\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-3}{\left(\sqrt{x}+3\right).\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)\) \(:\dfrac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\)
\(\Leftrightarrow D=\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x-3}{\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}\) \(.\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\)
\(\Leftrightarrow D=\dfrac{-3-3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}.\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(\Leftrightarrow D=\dfrac{-3.\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+3}.\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(\Leftrightarrow D=\dfrac{-3}{\sqrt{x}+3}\)
b) Để D\(< \dfrac{-1}{4}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{-3}{\sqrt{x}+3}< \dfrac{-1}{4}\)
\(\Leftrightarrow12>\sqrt{x}+3\Leftrightarrow9>\sqrt{x}\Leftrightarrow81>x\ge0\)
1. Cho \(x,y,z>0\) và \(x^3+y^2+z=2\sqrt{3}+1\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\)
2. Cho \(a,b>0\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Đề 7:
Bài 4:
\(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{3x+3}{9-x}\right).\left(\dfrac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}+1}+1\right),\) với \(x\ge0,x\ne9\)
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P \(\ge\) \(\dfrac{-1}{2}\)
c) Tìm GTNN của P
a: \(P=\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-3x-3}{x-9}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-7+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x-3}{x-9}\cdot\dfrac{2\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{-3\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{x}+3}=-\dfrac{6}{\sqrt{x}+3}\)
b: P>=-1/2
=>P+1/2>=0
=>\(\dfrac{-6}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{1}{2}>=0\)
=>\(\dfrac{-12+\sqrt{x}+3}{2\left(\sqrt{x}+3\right)}>=0\)
=>căn x-9>=0
=>x>=81
c: căn x+3>=3
=>6/căn x+3<=6/3=2
=>-6/căn x+3>=-2
Dấu = xảy ra khi x=0