a: BC=căn 6^2+9^2=3*căn 13cm

AH=6*9/3*căn 13=18/căn 13(cm)

BH=AB^2/BC=12/căn 13(cm)

CH=9^2/3*căn 13=27/căn 13(cm)

b: BC=AB^2/BH=25cm

CH=25-9=16cm

AC=căn 16*25=20cm

c: AB=căn 55^2-44^2=33cm

AH=33*44/55=26,4(cm)

BH=33^2/55=19,8cm

CH=55-19,8=35,2cm

d: CH=căn 40^2-24^2=32cm

BC=AC^2/CH=50cm

AB=căn 50^2-40^2=30cm

BH=50-32=18cm

e: HB=AH^2/HC=7,2cm

BC=7,2+12,8=20cm

AB=căn 7,2*20=12(cm)

AC=căn 12,8*20=16(cm)

f: AH=căn 72*12,5=30(cm)

BC=BH+CH=84,5cm

AB=căn 12,5*84,5=32,5cm

AC=căn 84,5^2-32,5^2=78cm

f) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB\cdot HC=12^2=144\)(1)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên BH+CH=25

hay BH=25-CH(2)

Thay (2) vào (1), ta được:

\(HC\left(25-HC\right)=144\)

\(\Leftrightarrow HC^2-25HC+144=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}HC=16\\HC=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}HB=9\\HB=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}AB\in\left\{15;20\right\}\\AC\in\left\{20;15\right\}\end{matrix}\right.\)

Do (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

⇒ O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC

⇒ AO là đường trung trực của ∆ABC

⇒ AO ⊥ BC tại H

⇒ H là trung điểm BC

⇒ BH = BC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm)

Do ∠ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

⇒ ∠ABD = 90⁰

∆ABD vuông tại B có BH là đường cao

⇒ 1/BH² = 1/AB² + 1/BD²

⇒ 1/BD² = 1/BH² - 1/AB²

= 1/36 - 1/100

= 4/225

⇒ BD² = 225/4

⇒ BD = 15/2 = 7,5 (cm)

∆ABD vuông tại B

⇒ AD² = AB² + BD² (Pytago)

= 10² + 7,5²

= 156,25

⇒ AD = 12,5 (cm)

Để tính độ dài đoạn thẳng AD, ta cần tìm được tọa độ của điểm D trên đường tròn (O).

Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Ta có AM là đường trung trực của BC, do đó OM vuông góc với BC và OM = MC = 6(cm).

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực của BC cũng là đường cao của tam giác. Do đó, ta có AH là đường cao của tam giác ABC và AH = $\sqrt{AB^2 - BM^2}$ = $\sqrt{100 - 36}$ = $\sqrt{64}$ = 8(cm).

Ta có thể tính được AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOM:

$AO^2 = AM^2 + OM^2 = 10^2 - 6^2 + 6^2 = 100$

Vậy $AO = 10$ (cm).

Do đó, ta có thể tính được bán kính đường tròn (O) là $R = \frac{BC}{2} = 6$ (cm).

Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường tròn (O). Ta có AE là đường đối xứng của AH qua đường tròn (O), do đó AE = AH = 8 (cm).

Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng DE bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOD:

$DE^2 = DO^2 + OE^2 = R^2 + AE^2 = 6^2 + 8^2 = 100$

Vậy $DE = 10$ (cm).

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng AD. Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng HD bằng định lý Euclid:

$\frac{HD}{BD} = \frac{AH}{AB}$

$\Rightarrow HD = \frac{AH \cdot BD}{AB} = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{24}{5}$ (cm)

Ta có thể tính được độ dài đoạn thẳng AO bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHO:

$AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 \cdot AO \cdot OD \cdot \cos{\angle AOD}$

Vì tam giác AOD cân tại O nên $\angle AOD = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB$. Ta có thể tính được $\angle AOB$ bằng định lý cosin trong tam giác ABC:

$\cos{\angle AOB} = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC

D' là giao điểm của BD và AH bạn nhớ thêm vào hình vẽ nhé!

Áp dụng định lý Py-Ta-Go cho ΔABC vuông tại A 

ta có:

BC²=AB²+AC²

BC²=6²+6²

BC²=36+36

BC²=72

⇒BC=\(\sqrt{72}\)

xét hai tam giác vuông AND và HBD có:

\(\widehat{DBH}\)=\(\widehat{DBA}\) (BC là tia phân giác của \(\widehat{ABH}\) )

BD là cạnh chung

⇒ΔAND=ΔHBD(cạnh-huyền-góc-nhọn)

⇒AB=HB(2 cạnh tương ứng)

⇒ΔABH là tam giác cân

gọi D' là giao điểm của AH và BD ta có:

xét ΔABD' và ΔHBD' có:

\(\widehat{DBH}\) =\(\widehat{DBA}\)  (BC là tia phân giác của\(\widehat{HBA}\) )

AB=HB(ΔABH cân tại B)

\(\widehat{AHB}\) =\(\widehat{HAB}\) (ΔABH cân tại B)

⇒ ΔABD' = ΔHBD' (G-C-G)

⇒HD'=AD'(2 cạnh tương ứng)

vì  ΔABD' = ΔHBD' 

⇒ \(\widehat{HD'B}\) =\(\widehat{AD'B}\) (2 góc tương ứng)₍₁₎

Mà \(\widehat{HD'B}\) +\(\widehat{AD'B}\) (2 góc kề bù)₍₂₎

Từ (1)và(2) ⇒ D'B⊥AH₍₃₎

Từ (1)và(3) ⇒BD là đường trung trực của AH