tham khảo:

a) Tam giác ABD có HK là đường trung bình nên HK//BD

Vì ABCD là hình vuông nên AC⊥BD. Suy ra AC⊥HK

Vì SH⊥(ABCD) nên SH⊥AC

Ta có: AC⊥SH,AC⊥HK nên AC⊥(SHK)

b) Ta có tam giác AHD và tam giác DKC bằng nhau nên DH⊥CK

Mà SH⊥(ABCD) nên SH⊥CK

Suy ra CK⊥(SDH)

a)      Vì M và P lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, AC nên MP là đường trung bình của tam giác ADC.

\( \Rightarrow MP\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 1 \right)\)

Vì P và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow PN\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(MP \equiv PN\) hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.

b)     Vì MP là đường trung bình của tam giác ADC nên \(MP = \frac{1}{2}DC\).

Vì PN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(PN = \frac{1}{2}AB\).

Ta có:

\(MN = MP + PN = \frac{1}{2}DC + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {DC + AB} \right)\)

Vậy \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\).

a) \(O\) là trung điểm của \(AC\) (theo tính chất hình bình hành)

\(M\) là trung điểm của \(SA\)

\( \Rightarrow OM\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right)\)

\(O\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\) (theo tính chất hình bình hành)

\(N\) là trung điểm của \(SD\)

\( \Rightarrow ON\) là đường trung bình của tam giác \(SB{\rm{D}}\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ON\parallel \left( {SBC} \right)\)

\(\left. \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM,ON \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\)

b) \(O\) là trung điểm của \(AC\) (theo tính chất hình bình hành)

\(E\) là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow OE\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OE\parallel BC\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OE\parallel \left( {SBC} \right)\)

Do \(\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\) nên \(E \in \left( {OMN} \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}EF \subset \left( {OMN} \right)\\\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {SBC} \right)\)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}G \in \left( {EFG} \right)\\G \in BD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in EF \subset \left( {EFG} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(GI\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in \left( {EFG} \right)\\F \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in EG \subset \left( {EFG} \right)\\H \in A{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}\)

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {EFG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng \(HF\).

b) Gọi \(J\) là giao điểm của \(CD\) và \(IG\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}J \in IG \subset \left( {EFG} \right)\\J \in C{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow J \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\)

Mà \(F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right),H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\) (theo chứng minh phần a).

Do đó ba điểm \(H,F,J\) thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng \(CD,IG,HF\) cùng đi điểm \(J\).