a: Xét ΔSBD có

M,N lần lượt là trung điểm của SB,SD

=>MN là đường trung bình

=>MN//BD

BD//MN

\(MN\subset\left(AMN\right)\)

BD không thuộc mp(AMN)

Do đó: BD//(AMN)

b: Gọi O là giao điểm của AC và BD

\(O\in AC\subset\left(SAC\right)\)

\(O\in BD\subset\left(SBD\right)\)

Do đó: \(O\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

mà \(S\in\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)\)

nên \(\left(SAC\right)\cap\left(SBD\right)=SO\)

Chọn mp(SBD) có chứa MN

(SBD) giao (SAC)=SO(cmt)

Gọi K là giao điểm của SO với MN

=>K là giao điểm của MN với mp(SAC)

Ta có: Sx là giao tuyến (SAD) và (SBC) sao cho Sx // AD // BC (1)

Có : M, N là trung điểm của AB, CD

Suy ra: MN // AD // BC (2) 

Từ (1)(2) suy ra: MN // Sx.

Tham khảo hình vẽ:

TH1: \(\left( \alpha  \right)\) cắt đoạn \(AO\) tại \(I\).

Gọi \(E,F,G\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) với \(SA,AB,AD\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = FG\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = B{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow FG\parallel B{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AD}} = \frac{{FG}}{{B{\rm{D}}}}\left( 1 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right) = EF\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SB\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel SB \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AS}} = \frac{{EF}}{{SB}}\left( 2 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right) = EG\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SD\end{array} \right\} \Rightarrow EG\parallel SD \Rightarrow \frac{{AG}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AS}} = \frac{{EG}}{{SD}}\left( 3 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{EF}}{{SB}} = \frac{{EG}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{FG}}{{B{\rm{D}}}}\).

Tam giác \(SBD\) đều nên \(SB = SD = BD\).

Do đó \(EF = EG = FG\). Vậy tam giác \(EFG\) đều.

Tham khảo hình vẽ:

TH2: \(\left( \alpha  \right)\) cắt đoạn \(CO\) tại \(J\).

Gọi \(M,N,P\) lần lượt là giao điểm của \(\left( \alpha  \right)\) với \(SC,BC,C{\rm{D}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = NP\\\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = B{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow NP\parallel B{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CP}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{NP}}{{B{\rm{D}}}}\left( 4 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\\\left( {SBC} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SB\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel SB \Rightarrow \frac{{CM}}{{C{\rm{S}}}} = \frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{MN}}{{SB}}\left( 5 \right)\\\left. \begin{array}{l}\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SBD} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right) = MP\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right) = SD\end{array} \right\} \Rightarrow MP\parallel SD \Rightarrow \frac{{C{\rm{M}}}}{{C{\rm{S}}}} = \frac{{CP}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{MP}}{{SD}}\left( 6 \right)\end{array}\)

Từ (4), (5) và (6) suy ra \(\frac{{MN}}{{SB}} = \frac{{MP}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{NP}}{{B{\rm{D}}}}\).

Tam giác \(SBD\) đều nên \(SB = SD = BD\).

Do đó \(MN = MP = NP\). Vậy tam giác \(MNP\) đều.

a) Tìm thiết diện :

Trong mp(ABCD), gọi F = AD ∩ PN và E = AB ∩ PN

Trong mp(SAD), gọi Q = MF ∩ SD

Trong mp(SAB), gọi R = ME ∩ SB

Nối PQ, NR ta được các đoạn giao tuyến của mp(MNP) với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp là MQ, QP, PN, NR, RM

Vậy thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác MQPNR.

b) Tìm SO ∩ (MNP). Gọi H là giao điểm của AC và PN .

Trong (SAC), SO ∩ MH = I

Vậy I = SO ∩ (MNP).

Đáp án D

Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ đường thẳng d đi qua O và song song với AB

d cắt AD tại J

d cắt BC tại G

Trong mặt phẳng (SBC), kẻ đường thẳng  Gx đi qua G và song song với SC; đường thẳng này  cắt SB tại H

Trong mặt phẳng (SAB), kẻ đường thẳng y đi qua H và song song với AB

y cắt SA tại I

⇒ IHGJ là thiết diện cần tìm

Xét tứ giác IHGJ có: IH // JG ( // AB )

⇒ IHGJ là hình thang

Chọn B