Ba số \(\frac{2}{{b - a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Cho ba số thực a, b, c khác 0. Xét các phát biểu sau
(1) Nếu a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng
(công sai khác 0) thì ba số 1 a , 1 b , 1 c theo thứ tự đó
cũng lập thành cấp số cộng
(2) Nếu a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân
thì ba số 1 a , 1 b , 1 c theo thứ tự đó cũng lập thành cấp
số nhân.
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. (1) đúng, (2) sai
B. cả (1) và (2) đúng
C. cả (1) và (2) sai
D. (2) đúng, (1) sai
Cho tam giác ABC có \(\cot\frac{A}{2},\cot\frac{B}{2},\cot\frac{C}{2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng 3 cạnh a, b, c đó cũng lập thành cấp số cộng ?
Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)
Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng
Cho ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: \(2n = m + p\).
Ta có: \(2n = m + p \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{m + p}} \Leftrightarrow {\left( {{2^n}} \right)^2} = {2^m}{.2^p}\).
Vậy ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
cho hai số dương a và b biết rằng ba số 1; a+8; b theo thứ tự lập thành cấp số công và ba số 1; a; b theo thứ tự lập thành cấp số nhân. tính giá trị a+b?
Do 3 số lập thành 1 CSC nên: \(2\left(a+8\right)=1+b\Rightarrow b=2a+15\)
Do 3 số lập thành 1 CSN nên:
\(a^2=b.1\Leftrightarrow a^2=2a+15\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a-15=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=5\\b=-3< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow b=2a+15=25\)
Cho ba số a b c , theo thứ tự vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi
A. a=d,b=2d,c=3d với d ≢ 0 cho trước
B. a=1,b=2,c=3
C. a=q,b= q 2 ,c= q 3 với q ≢ 0
D. a=b=c
Cho tam giác ABC, có 3 cạnh a, b, c, theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng : \(\cot\frac{A}{2}.\cot\frac{C}{2}=3\)
Nếu 3 cạnh a, b, c lập thành cấp số cộng thì ta có a + c = 2b
\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=4\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\left(1\right)\)
Vì \(A+C=180^0-B\Rightarrow\frac{A+C}{2}=90^0-\frac{B}{2}\)
<=> \(\sin\frac{A+C}{2}=\sin\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\cos\frac{B}{2}\) hoặc \(\cos\frac{A+C}{2}=\cos\left(90^0-\frac{B}{2}\right)=\sin\frac{B}{2}\) (*)
Do đó (1) trở thành :
\(\Leftrightarrow\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\sin\frac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A-C}{2}=2\cos\frac{A+C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}=2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}-2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cos\frac{A}{2}\cos\frac{C}{2}=3\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\)
\(\Leftrightarrow\cot\frac{A}{2}\cot\frac{C}{2}=3\) => Điều phải chứng minh
Cho a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?
A. 2b2, a, c2.
B. -2b; -2a; -2c.
C. 2b; a; c.
D. 2b; -a; -c.
Chọn B.
Ta có a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a + c = 2b
Suy ra -2( b + c) = -2.2a hay -2b + (-2c) = 2.(-2a)
-2a; -2b; -2c lập thành một cấp số cộng.
Tam giác ABC có \(\cot A,\cot B,\cot C\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Hãy chứng minh rằng \(a^2,b^2,c^2\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng ?
Theo giả thiết ta có : \(\cot A+\cot C=2\cot B\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sin\left(A+C\right)}{\sin A\sin C}=\frac{2\cos B}{\sin B}\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=2\sin B\sin C\cos B=\left[\cos\left(A-C\right)-\cos\left(A+C\right)\right]\cos B\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=\cos\left(A-C\right)\cos B-\cos\left(A+C\right)\cos B=-\cos\left(A-C\right)\cos\left(A+C\right)+\cos^2B\)
\(\Leftrightarrow\sin^2B=-\frac{1}{2}\left(\cos2A+\cos2C\right)+1-\sin^2B=-\frac{1}{2}\left(1-2\sin^2A+1-2\sin^2C\right)+1-\sin^2B\)
\(\Rightarrow2\sin^2B=\sin^2A+\sin^2C\Leftrightarrow2b^2=a^2+c^2\)
Vậy chứng tỏ \(a^2,b^2,c^2\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng
Cho bốn số a,b,c,d biết rằng a,b,c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân công bội q>1; còn b,c,d theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tìm q biết rằng a+d=14 và b+c=12. Giúp mình với mng ơi <3