Bài 2: 

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{3}\)

nên HC=3HB

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB^2=48\)

\(\Leftrightarrow HB=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=4\cdot HB=16\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Bài 1:

ta có: \(AB=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow HC=4HB\)

Ta có: \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB=1\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HC=4\left(cm\right)\)

hay BC=5(cm)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=HB\cdot BC\\AC^2=HC\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a, Ta có : \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}=>\dfrac{3}{4}AC=AB\)

AB + AC = 21

3/4 AC + AC = 21

7/4 AC = 21

AC = 12 ( cm )

AB = 21 - 12 = 9 ( cm )

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác , ta có :

BC ^ 2  = AB ^ 2 + AC ^ 2 = 12^2 + 9^2 = 225

-> BC = 15 ( cm )

b, Áp dụng hệ thức lượng :

AH . BC = AB . AC 

-> AH = AB.AC / BC = \(\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)

AB^2 = BH . BC

-> BH = AB^2 / BC = \(\dfrac{81}{15}=5,4\left(cm\right)\)

AC^2 = HC . BC

-> HC = AC^2 / BC = \(\dfrac{144}{15}=9,6\left(cm\right)\)

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức, ta có: 

    \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{18^2}=\frac{1}{324}\) (1)

Đặt \(\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=k\Rightarrow AB=3k;AC=4k\)

Thế vào (1) ta được: \(\frac{1}{\left(3k\right)^2}+\frac{1}{\left(4k\right)^2}=\frac{1}{324}\)

                \(\Rightarrow\frac{9k^2+16k^2}{9k^2.16k^2}=\frac{1}{324}\)

               \(\Rightarrow\frac{15k^2}{144k^4}=\frac{1}{324}\Rightarrow\frac{15}{144k^2}=\frac{1}{324}\Rightarrow144k^2=4860\Rightarrow k^2=33,75\Rightarrow k=\frac{3\sqrt{15}}{2}\)

              \(\Rightarrow AB=\frac{3\sqrt{15}}{2}.3=\frac{9\sqrt{15}}{2}\) (cm)

                    AC = (3 √15)/2 . 4 = 6 √15 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

       AB² + AC² = [(9 √15)/2]^2+(6 √15)^2= 3375/4 = BC²

=> BC = (15 √15)/2

Vậy chu vi của tam giác ABC là: AB+BC+AC= (9 √15)/2 + 6 √15 + (15 √15)/2 = 18 √15 (cm)

\(BC=AB:\dfrac{3}{5}=6:\dfrac{3}{5}=10\left(cm\right)\)

=>AC=8cm

=>AH=4,8cm

1: AB/AC=5/7

=>HB/HC=(AB/AC)^2=25/49

=>HB/25=HC/49=k

=>HB=25k; HC=49k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AH^2=HB*HC

=>1225k^2=15^2=225

=>k^2=9/49

=>k=3/7

=>HB=75/7cm; HC=21(cm)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{7}\)

nên \(AB=\dfrac{3}{7}AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{7}AC\right)^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{42^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{9}{49}AC^2}+\dfrac{\dfrac{9}{49}}{\dfrac{9}{49}AC^2}=\dfrac{1}{1764}\)

\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\dfrac{9}{49}=2088\)

\(\Leftrightarrow AC^2=11368\)

\(\Leftrightarrow AC=14\sqrt{58}\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{3}{7}\cdot14\sqrt{58}=6\sqrt{58}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=\left(6\sqrt{58}\right)^2+\left(14\sqrt{58}\right)^2=13456\)

hay BC=116(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{\left(6\sqrt{58}\right)^2}{116}=18\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{CH}=\dfrac{\left(14\sqrt{58}\right)^2}{116}=98\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

1

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{3}{.4}AC\)

Theo pytago xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\sqrt{AB^2+AC^2}=BC^2\\ \Rightarrow\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2+AC^2}=10\\ \Rightarrow AC=8\\ \Rightarrow AB=\dfrac{3.8}{4}=6\)

Theo hệ thức lượng xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AB^2=BH.BC\\ \Leftrightarrow BH=\dfrac{AH^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\)

2

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{27}{4}\Rightarrow AB=\dfrac{27}{4}AC\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{27}{4}AC\right)^2+AC^2}=\dfrac{\sqrt{745}AC}{4}\) ( Theo pytago trong tam giác ABC vuông tại A)

Theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có:

\(AH.BC=AB.AC\\ \Leftrightarrow33,6.\dfrac{\sqrt{745}}{4}AC=\dfrac{27}{4}AC.AC\\ \Rightarrow AC=\dfrac{56\sqrt{745}}{45}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\dfrac{27}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{42\sqrt{745}}{5}\\BC=\dfrac{\sqrt{745}}{4}.\dfrac{56\sqrt{745}}{45}=\dfrac{2086}{9}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}AC\approx33,97\\AB\approx229,28\\BC\approx231,78\end{matrix}\right.\)

3

`BC=HB+HC=36+64=100`

Theo hệ thức lượng có (trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH):

\(AH^2=HB.HC\\ \Rightarrow AH=\sqrt{36.64}=48\)

\(AB=\sqrt{HB.BC}=\sqrt{36.100}=60\\ AC=\sqrt{HC.BC}=\sqrt{64.100}=80\)

Ta có \(\widehat{HAC}=\widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\)) 

Mà \(\widehat{B}=\tan^{-1}\left(\dfrac{AC}{AB}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{32}{24}\right)=\tan^{-1}\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx53,13^o\)

Nên \(\widehat{HAC}\approx53,13^o\)

Ta có \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{24^2+32^2}=40\) cm

\(\Rightarrow IB=IC=20cm\)

Ta có \(CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{32^2}{40}=25,6cm\) 

\(AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{24.32}{40}=19,2cm\)

Do vậy \(\dfrac{CI}{CH}=\dfrac{IK}{AH}\Rightarrow IK=\dfrac{CI.AH}{CH}=\dfrac{20.19,2}{25,6}=15cm\)

Mặt khác \(\dfrac{CI}{CH}=\dfrac{CK}{CA}\Rightarrow CK=\dfrac{CI.CA}{CH}=\dfrac{20.32}{25,6}=25cm\)

\(\Rightarrow C_{CIK}=CI+CK+IK\) \(=20+15+25=60cm\)

Mặt khác, \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.24.32=384cm^2\)

Lại có \(\Delta CIK~\Delta CAB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{S_{CIK}}{S_{CAB}}=\left(\dfrac{IK}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{15}{24}\right)^2=\dfrac{25}{64}\)

\(\Rightarrow S_{CIK}=\dfrac{25}{64}S_{CAB}=\dfrac{25}{64}.384=150cm^2\)

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{20}{21}\Rightarrow AB=\dfrac{20AC}{21}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{420^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{20}{21}AC\right)^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{841}{400AC^2}\)

\(\Rightarrow AC=609\) \(\Rightarrow AB=\dfrac{20}{21}AC=580\)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=841\)

Chu vị: \(609+580+841=2030\)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{20}{21}\)

nên \(AB=\dfrac{20}{21}\cdot AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{420^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{20}{21}AC\right)^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{400}{441}AC^2}+\dfrac{\dfrac{400}{441}}{\dfrac{400}{441}AC^2}=\dfrac{1}{176400}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{400}{441}AC^2=336400\)

\(\Leftrightarrow AC^2=370881\)

hay AC=609(cm)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{20}{21}\cdot AC=\dfrac{20}{21}\cdot609=580\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=580^2+609^2=371461\)

hay BC=841(cm)

Chu vi tam giác ABC là:

AB+AC+BC=580+609+841=2030(cm)