Đáp án A

Hướng dẫn giải: Ta có:

Có A H 2 + S A 2 = 5 a 2 4 = S H 2 ⇒ ∆ S A H  vuông tại A

Do đó mà S A ⊥ ( A B C D )  nên

  (Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy (ABCD)) 

Trong tam giác vuông SAC, có

Đáp án A

Ta có

A H = 1 2 A B = a 2 ; S A = A B = a S H = H C = B H 2 + B C 2 = a 5 2  

Do A H 2 + S A 2 = 5 a 2 4 = S H 2  nên S A ⊥ A B

Do đó S A ⊥ A B C D  nên S C , A B C D ^ = S C A ^  

Trong tam giác vuông SAC có tan α = tan S C A ^ = S A A C = 1 2

Đáp án A

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\cap\left(SAD\right)=SA\\\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SAD\right)\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow MN||AB\Rightarrow AB||\left(SMN\right)\)

\(\Rightarrow d\left(AB;SM\right)=d\left(AB;\left(SMN\right)\right)=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SM\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MN||AB\Rightarrow MN\perp AD\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp MN\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MN\perp\left(SAD\right)\Rightarrow MN\perp AH\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SMN\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SMN\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{SC^2-AC^2}=a\)

\(AM=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AM^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

Đáp án là B

a.

Do tam giác SAB đều \(\Rightarrow SB=AB=a\)

Trong tam giác SBC ta có: 

\(SB^2+BC^2=2a^2=SC^2\)

\(\Rightarrow\Delta SBC\) vuông tại B (pitago đảo)

\(\Rightarrow BC\perp SB\)

Mà \(BC\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Do \(SH\in\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp SH\) (1)

Lại có SAB là tam giác đều, mà SH là đường trung tuyến (H là trung điểm AB)

\(\Rightarrow SH\) đồng thời là đường cao hay \(SH\perp AB\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

b.

\(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) HM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SMH}\) là góc giữa SM và (ABCD) hay \(\alpha=\widehat{SMH}\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)

\(HM=BC=a\) \(\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{SH}{HM}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c.

Do H là trung điểm AB, K là trung điểm AD \(\Rightarrow\) HK là đường trung bình tam giác ABD

\(\Rightarrow HK||BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình vuông)

\(\Rightarrow HK\perp AC\) (3)

Lại có \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AC\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow AC\perp\left(SHK\right)\Rightarrow AC\perp SK\)

Đáp án là A

Chọn C