Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Lấy điểm C trên tia Ax( C khác A), đường thẳng BC cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D. Kẻ AH vuông góc với OC tại H, đường thẳng DH cắt AB ở E.
a, Chứng minh tứ giác AHDC nội tiếp 
b, Chứng minh EH.ED=EO.EB

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CA nhỏ hơn cung CB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB.Một đường tròn đi qua A và C (khác với đường tròn đường kính AB) cắt đường kính AB tại D và cắt Ax tại E.đường thẳng EC cắt tia By tại F 
a) chứng minh BDCF là tứ giác nội tiếp đường tròn

b) chứng minh CD² =CE.CF
c) Gọi I là giao điểm của AC và DE, J là giao điểm của BC và DF. Chứng minh IJ song song với AB 
d) Khi EF là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB thì D nằm ở vị trí nào trên AB

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa  điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By.  Một đường tròn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax  theo thứ tự tại D và E.  Đường thẳng EC cắt By tại F.

1.     Chứng minh BDCF nội tiếp.

2.     Chứng tỏ: CD² = CE. CF và FD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

3.     AC cắt DE ở I;CB cắt DF ở J. Chứng minh IJ//AB

4.     Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn đó, kẻ hai tia tiếp tuyến Ax, By với (O). Gọi (I) là đường tròn tiếp xúc với Ax tại C và tiếp xúc ngoài với nửa đường tròn (O) tại F. Kẻ tiếp tuyến CE với (O) (E là tiếp điểm, E khác A), AE cắt tia By tại D. Cho AB = 2R.
a) Tính AC.BD theo R. Chứng minh CE^2 = CF.CB.
b) Đường thẳng vuông góc với By tại D cắt OE tại J, CE cắt DF tại G. Chứng minh:
- DF là tiếp tuyến của (O).
- G là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OIJ

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn (O).  Gọi C điểm trên cung AB, D là điểm chính giữa cung AC, E là giao điểm của BD và Ax. Hai tia AD và BC cắt nhau tại K.   

   a) Chứng minh rằng  BD.BE = 4R².

   b) Chứng  minh tam giác BAK cân và AEKB là tứ giác nội tiếp.

   c) Gọi I là giao điểm của  AC và BD  và  P là giao điểm của KI và AB.

             Chứng  minh  ip/ik = bp/ba.

   d) Trong trường hợp EC//AB. Hãy tính BC theo R