Đặt \(\left(a+1;b+1;c+1\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow1\le x\le y\le z\le2\)

\(B=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}+3\) (1)

Do \(x\le y\le z\Rightarrow\left(z-y\right)\left(y-x\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy+yz\ge y^2+zx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{z}+1\ge\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{y}\)

Tương tự: \(1+\dfrac{z}{x}\ge\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}\)

Cộng vế: \(2+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}\) (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow B\le2\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)+5\)

Đặt \(\dfrac{z}{x}=t\Rightarrow1\le t\le2\)

\(\Rightarrow B\le2\left(t+\dfrac{1}{t}\right)+5=\dfrac{2t^2+2}{t}+5=\dfrac{2t^2+2}{t}-5+10\)

\(\Rightarrow B\le\dfrac{2t^2-5t+2}{t}+10=\dfrac{\left(t-2\right)\left(2t-1\right)}{t}+10\le10\)

\(B_{max}=10\) khi \(t=2\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right);\left(0;1;1\right)\)

Em tham khảo ở đây:

xét các số thực a,b,c (a≠0) sao cho phương trình ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm m, n thỏa mãn \(0\le m\le1;0\le m\le1\). tìm GTN... - Hoc24

Max thì đơn giản thôi em:

Do \(0\le m;n\le1\Rightarrow0< 2-mn\le2\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{mn+m+n+1}\le\dfrac{2\left(m+n+1\right)}{m+n+1}=2\)

\(M_{max}=2\) khi \(mn=0\)

\(Q=\dfrac{2-\dfrac{c}{a}-\dfrac{2b}{a}+\left(\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{c}{a}\right)}{1-\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}}=\dfrac{2-mn+2\left(m+n\right)-mn\left(m+n\right)}{1+m+n+mn}\)

\(Q=\dfrac{\left(2-mn\right)\left(m+n+1\right)}{\left(m+1\right)\left(n+1\right)}\ge\dfrac{\left[8-\left(m+n\right)^2\right]\left(m+n+1\right)}{\left(m+n+2\right)^2}\)

Đặt \(m+n=t\Rightarrow0\le t\le2\)

\(Q\ge\dfrac{\left(8-t^2\right)\left(t+1\right)}{\left(t+2\right)^2}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{\left(2-t\right)\left(4t^2+15t+10\right)}{4\left(t+2\right)^2}+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(t=2\) hay \(m=n=1\)

áp dụng bđt bunhia cốp xki ta có cặp số \(\left(a,2b,c\right)\left(1,\sqrt{2},1\right)\)

\(\left(a^2+2b^2+c^2\right)\left(1+\sqrt{2}+1\right)>=\left(a+b+c\right)^2\)

\(a^2+2b^2+c^2>=\frac{0^2}{2+\sqrt{2}}=0\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a^2}{1}=\frac{b^2}{\sqrt{2}}=\frac{c}{1}\)

vậy min P =0

sorry bạn mình ko tìm đc giá trị lớn nhất mà chỉ tìm đc giá trị nhỏ nhất thôi

\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0}\)

Tương tự \(\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0,\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\)

=> (a+1)(a-2)+(b+1)(b-2)+(c+1)(c-2)\(\le\)0 => a²+b²+c²-(a+b+c)-6\(\le\)0 

=>a²+b²+c² \(\le\)6 

Dấu "=" xảy ra <=> (a+1)(  a-2)=0, (b+1)(b-2)=0, (c+1)(c-2)=0 , a+b+c=0 <=> a=2, b=c=-1 và các hoán vị