a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có 

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\widehat{CAM}\) là góc tạo bởi dây cung CA và tiếp tuyến AM

Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{CAM}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)

Xét ΔMDA và ΔMAC có 

\(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)(cmt)

\(\widehat{AMD}\) là góc chung

Do đó: ΔMDA∼ΔMAC(g-g)

⇔\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MA}{MC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇔\(MA^2=MC\cdot MD\)(đpcm)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:

\(MA^2=MH\cdot MO\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)(đpcm)

c) để chứng minh EC là tiếp tuyến:

chứng minh tứ giác OECH nội tiếp thì ta sẽ có góc OHE=OCE=90o(đpcm)

=> cần chứng minh tứ giác OECH nội tiếp:

ta có: DOC=DHC (ccc CD)

xét MHC=MDO (tam giác MCH~MOD)= OCD (vì DO=OC)=OHD (cùng chắn OD) => HA là phân giác CHD

DOC=DHC => 1/2 DOC= 1/2 DHC =COE=CHE

mà COE với CHE cùng chắn cung CE trong tứ giác OHCE nên tứ giác đấy nội tiếp => xong :))))

a) Do SA là tiếp tuyến tại A của (O) nên \(\widehat{OAS}=90^o\). Tương tự, ta có \(\widehat{OBS}=90^o\), suy ra \(\widehat{OAS}+\widehat{OBS}=180^o\). Do đó tứ giác SAOB nội tiếp. (đpcm)

 Mặt khác, trong đường tròn (O) có M là trung điểm của dây EF nên \(OM\perp EF\) tại M hay \(\widehat{OMS}=90^o\). Từ đó suy ra \(\widehat{OMS}=\widehat{OAS}\),từ đó tứ giác OMAS nội tiếp. Vì vậy 5 điểm O, M, A, S, B cùng thuộc một đường tròn \(\Rightarrow\) Tứ giác SAMO nội tiếp (đpcm)

b) Ta thấy tứ giác OMAB nội tiếp nên \(\widehat{PMA}=\widehat{PBO}\). Từ đó dễ dàng suy ra \(\Delta PAM~\Delta POB\left(g.g\right)\Rightarrow\dfrac{PA}{PO}=\dfrac{PM}{PB}\) \(\Rightarrow PA.PB=PO.PM\) (đpcm)

c) Do tứ giác SAMB nội tiếp nên \(\widehat{SMB}=\widehat{SAB}\) và \(\widehat{SMA}=\widehat{SBA}\). Mặt khác, trong đường tròn (O), có 2 tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại S nên \(SA=SB\) hay \(\Delta SAB\) cân tại S \(\Rightarrow\widehat{SAB}=\widehat{SBA}\) \(\Rightarrow\widehat{SMB}=\widehat{SMA}\) hay MI là phân giác trong của \(\widehat{AMB}\) . Lại có \(MP\perp MI\) nên MP là phân giác ngoài của \(\widehat{AMB}\). Áp dụng tính chất đường phân giác, ta thu được \(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{MA}{MB}\) và \(\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{MA}{MB}\). Từ đây suy ra \(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{PA}{PB}\) \(\Rightarrow PA.IB=PB.IA\) (đpcm)