Chứng minh tương đương là xong nha

\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab^2c+b^2c^2\le2a^2b^2+2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2\ge0\)luôn đúng

dấu = khi a=c

_Kudo_

Áp dụng bđt Bunhiacopski:

\(2\left(a^2b^2+b^2c^2\right)=\left(1+1\right)\left(a^2b^2+b^2c^2\right)\ge\left(ab+bc\right)^2\)

Dấu "=" khi a = c

\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)

VT : (a + b + c)² + a² + b² + c²

= a² + b² + c² + 2ab +2bc + 2ac + a² + b² + c²

= ( a² + 2ab + b² ) + (b² + 2bc + c²) + ( a² + 2ac + c²)

= (a + b)² + (b + c)² + (a + c)² = VP

Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)

Có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\) với mọi x

=> \(-a^2+2ab-b^2\le0\)

=>\(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\) (cộng cả 2 vế với \(2a^2;2b^2\))

=>\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\)

dấu "=" xẩy ra khi  và chỉ khi a=b

ta có : \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

<=>\(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

<=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2\ge0\) bất đẳng thức luôn đúng 

=> ĐPCM

1. \(\left|x+5\right|-\left|1-2x\right|=x\left(1\right)\)

Với phương trình kiểu này thì phải lập bảng để xét dấu của x+5 và 1-2x ta có nghiệm của hai nhị thức để chúng bằng 0 lần lượt là -5 và 0,5. Bảng xét dấu:

Ứng với bảng ta có 3 khoảng giá trịn của x ứng với ba phương trình sau.

* Với \(x< -5\) (khoảng đầu)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-\left(x+5\right)-\left(1-2x\right)=x\\ \Leftrightarrow-x+2x-x=5+1\\ \Leftrightarrow0x=6\)

Phương trình vô nghiệm.

* Với \(-5\le x\le0,5\) (khoảng giữa)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+5\right)-\left(1-2x\right)=x\\ \Leftrightarrow x+2x-x=1-5\\ \Leftrightarrow x=-2\)

\(x=-2\) thỏa mãn điều kiện nên ta lấy.

* Với \(x>0,5\) (khoảng cuối)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+5\right)-\left(2x-1\right)=x\\ \Leftrightarrow x-2x-x=-5-1\\\Leftrightarrow x=3 \)

\(x=3\) thỏa nãm điều kiện nên ta lấy.

Kết luận tập nghiệm của phương trình (1) là: \(S=\left\{-2;3\right\}\)

Chứng minh bất đẳng thức:

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\\ \Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab_{ }+b^2\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\)

Vì BĐT (2) luôn đúng với mọi a,b do đó ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

2.

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)\le0\\ \Leftrightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\\ \Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)) nên bất đẳng thức đầu luôn đúng với mọi a, b.

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)\ge3\sqrt[3]{2ab}\cdot3\sqrt[3]{4a^2b^2}=9\sqrt[3]{8a^3b^3}=9\cdot2ab=18ab\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b=2\\a=4b=ab\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)

Vậy dấu \("="\) ko xảy ra hay \(\left(2+a+b\right)\left(a+4b+ab\right)>18ab\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))

\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta có đpcm.

\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh

Làm thông thường thoy; khai triển ra xog chuyển vế

\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b\in R\))

Vậy bđt đã đc chứng minh

cảm ơn nhiều nha. chúng ta kết bạn được không?

theo bđt bu-nhi-a cốp-xki thì

(a^3+b^3)^2=(axa^2+bxb^2)^2<=(a^2+b^2)(a^4+b^4)

còn bạn chưa biết thì

<=>a^6+b^6+a^2xb^2(a^2+b^2)>=a^6+b^6+2a^3xb^3

,<=>a^2xb^4+b^2xa^4>=2a^3xb^3

<=>(axb^2-a^2xb)^2>=0(luôn đúng)