Xét hiệu a²+b²+c²+m²+n²+p² - (a+b+c+m+n+p)

=a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+m(m-1)+n(n-1)+p(p-1) \(⋮\)2

mà a²+b²+c²+m²+n²+p2\(\ge\)6 ( vì a,b,c,m,np nguyên dương)

=> a+b+c+m+n+p là hợp số

Xét hiệu a2+b2+c2+m2+n2+p2  - (a+b+c+m+n+p)

=a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+m(m-1)+n(n-1)+p(p-1) ⋮ 2

mà a2+b2+c2+m2+n2+p2 ≥ 6 ( vì a,b,c,m,np nguyên dương)

=> a+b+c+m+n+p là hợp số 

m.n/(m^2+n^2 ) và m.n/2018
- Đặt (m,n)=d => m= da;n=db ; (a,b)=1
=> d^2(a^2+b^2)/(d^2(ab))  = (a^2+b^2)/(ab) => b/a ; a/b => a=b=> m=n=> ( 2n^2+2018)/n^2 =2 + 2018/n^2 => n^2/2018
=> m=n=1 ; lẻ và nguyên tố cùng nhau. vì d=1

Vẽ SH _I_ (ABCD) => H là trung điểm AD => CD _I_ (SAD) 
Vẽ HK _I_ SD ( K thuộc SD) => CD _I_ HK => HK _I_ (SCD) 
Vẽ AE _I_ SD ( E thuộc SD). 
Ta có S(ABCD) = 2a² => SH = 3V(S.ABCD)/S(ABCD) = 3(4a³/3)/(2a²) = 2a 
1/HK² = 1/SH² + 1/DH² = 1/4a² + 1/(a²/2) = 9/4a² => HK = 2a/3 
Do AB//CD => AB//(SCD) => khoảng cách từ B đến (SCD) = khoảng cách từ A đến (SCD) = AE = 2HK = 4a/3

\(a^2+b^2=c^2+d^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(c^2+d^2\right)\)

Do đó \(a^2+b^2+c^2+d^2⋮2\) (1)

Dễ dàng chứng minh \(a^2-a⋮2;b^2-b⋮2;c^2-c⋮2;d^2-d⋮2\)

Do đó \(a^2+b^2+c^2+d^2-\left(a+b+c+d\right)⋮2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(a+b+c+d⋮2\) ( đpcm )

Vì p;(p+1);(p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp => 1 trong 3 số sẽ chia hết cho cả 2;3 .Vậy 1trong 3 số đó sẽ là hợp số vì chia hết cho 3 số(tính cả chia hết cho 1)nên p+2 là hợp số nếu p;p+1 là số nguyên tố

c)Vì x^2 +y=23

=>x^2<23=>x∈ {2;3}

Ta có:y= 23-x²có hai TH

TH1:y=23-2^2=23-4=19(chọn)

TH2:y=23-3^2=23-9=12(loại)

Vậy y=19;x=2

Theo BĐT Cauchy ta có :

\(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}{3}=\dfrac{3}{4}\)

a, Đặt \(x=\dfrac{1}{2}+a\) ; \(y=\dfrac{1}{2}+b;z=\dfrac{1}{2}+c\)

Do a + b + c = 3/2 => x + y + z = 0

Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\left(\dfrac{1}{2}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}+y\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}+z\right)^2\)

\(=\left(\dfrac{1}{4}+x+x^2\right)+\left(\dfrac{1}{4}+y+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{4}+z+z^2\right)\)

\(=\dfrac{3}{4}+\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{3}{4}\)(đpcm)

P/S Nếu không muốn cm BĐT đó thì làm cách này cx đc