a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)

b thiếu đề

@tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @No choice teen, @Akai Haruma

giúp e vs ạ! Cần gấp

Thanks nhiều

Ta có : \(a+b+c=0\Leftrightarrow a+b=-c\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\Rightarrow\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2}\)

Tương tự : \(\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}=-\frac{1}{2};\frac{ac}{a^2+c^2-b^2}=-\frac{1}{2}\)

Cộng các vế với nhau được \(M=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)

Bạn ơi hình như phân thức cuối cùng bạn bị sai bạn thử xem lại đi nha!

Ta có :a+b+c=0

a+b=-c

(a+b)²=(-c)²

a²+b²+2ab=c²

a²+b²-c²+2ab=0

\(\Rightarrow\)a²+b²-c²=-2ab (1)

Tương tự như trên , nên ta có :

b²+c²-a²=-2ab (2)

c²+b²-a²=-2cb (3)

Ta thay (1) , (2) và (3) , vào phân thức trên , ta có :

\(\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2cb}\)

\(=-\frac{1}{2}+-\frac{1}{2}+-\frac{1}{2}\)

\(=-\frac{3}{2}\)

Từ \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ca}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a\cdot a+a\cdot a+a\cdot a}{a^2+a^2+a^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)

theo bài ra ta có:

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)

=> \(\frac{abc}{c\left(a+b\right)}=\frac{abc}{a\left(b+c\right)}=\frac{abc}{b\left(c+a\right)}\)

=> \(\frac{abc}{ca+cb}=\frac{abc}{ab+ac}=\frac{abc}{bc+ba}\)

vì a,b,c khác 0 => ca+cb = ab+ac = bc+ba

=> a = b = c

ta có:

\(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)

vậy M = 1

Mik ko bk đúng hay sai đâu nha!

Ta xét hiệu :

\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\right)\)

\(=a-b+b-c+c-a=0\)

Do đó : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}=1006\)

Khi đó \(M=2\cdot1006=2012\)

Chỉ ra được : \(M=2\cdot1006=2012\)

Gợi ý : Xét hiệu .

Có thể ns rõ cách làm hơn đc hok 

Bài 1: Ta có \(\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)+b^2=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\ge2\sqrt{a^2-ab+b^2}\)  (áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi)

\(=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}-a+2b\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{c}-b+2c\ge\sqrt{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{2}\left(b+c\right)\left(2\right)\\\frac{c^2}{a}-c+2a\ge\sqrt{c^2-ac+a^2}+\frac{1}{2}\left(a+c\right)\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c