\(\text{Δ}=5^2-4\cdot2\cdot\left(-2m+1\right)=8m+21\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 8m+21>0

hay m>-21/8

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=4\\x_1+x_2=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-3\\x_1=-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(x_1x_2=-2m+1\)

=>-2m+1=6

=>-2m=5

hay m=-5/2(loại)

\(\Delta=\left(-5\right)^2-4\left(m-1\right)\)

   \(=25-4m+4\)

   \(=29-4m\)

Để pt có 2 nghiệm thì \(\Delta>0\)

                                    \(\Leftrightarrow m< \dfrac{29}{4}\)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\) (1)

\(2x_2=\sqrt{x_1}\) ; \(ĐK:x_1;x_2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4x_2^2=\left|x_1\right|\)

\(\Leftrightarrow4x_2^2=x_1\) (2)

Thế \(x_1=4x^2_2\) vào \(\left(1\right)\), ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x_2^2+x_2-5=0\\4x_2^3-m+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x_2=-\dfrac{5}{4}\left(ktm\right)\\x_2=1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\\4.1^3-m+1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=1\\m=5\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow x_1=4\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}m=5\\x_1=4\\x_2=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) <=> 3x + 3 = 0

<=> 3x = -3

<=> x = -1

Khi đó x = -1 là nghiệm của phương trình (2)

Thay vào ta được 5 - k(-1) = 0

<=> 5 + k = 0

<=> k = -5

Vậy k = -5 

a)

\(m=6\)

\(\Rightarrow x^2+5x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

b)

\(\left|x_1-x_2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow x_1^2=2x_1x_2+x^2_2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-5\\x_1-x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow25-4m=9\)

\(\Leftrightarrow4m=16\)

\(\Leftrightarrow m=4\)

a, Thay x = -5 ta đc 

\(25-5m-35=0\Leftrightarrow-5m-10=0\Leftrightarrow m=-2\)

Thay m = -2 ta đc \(x^2-2x-35=0\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x-7\right)=0\Leftrightarrow x=-5;x=7\)

b, \(\Delta=m^2-4\left(-35\right)=m^2+4.35>0\)

Vậy pt trên luôn có 2 nghiệm pb 

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=86\Rightarrow m^2-2\left(-35\right)=86\)

\(\Leftrightarrow m^2=16\Leftrightarrow m=-4;m=4\)

a: Thay x=-5 vào pt, ta được:

25-5m-35=0

=>5m+10=0

hay m=-2

Theo đề, ta có: \(x_1x_2=-35\)

nên \(x_2=7\)

b: \(ac=-1\cdot35< 0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=86\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\cdot\left(-35\right)=86\)

hay \(m\in\left\{4;-4\right\}\)

d: Ta có: \(\text{Δ}=\left(m+1\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+3\right)\)

\(=m^2+2m+1-8m-24\)

\(=m^2-6m-23\)

\(=m^2-6m+9-32\)

\(=\left(m-3\right)^2-32\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\left(m-3\right)^2>32\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-3>4\sqrt{2}\\m-3< -4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4\sqrt{2}+3\\m< -4\sqrt{2}+3\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{m+1}{2}\\x_1-x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1=\dfrac{m+3}{2}\\x_2=x_1-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+3}{4}\\x_2=\dfrac{m+3}{4}-\dfrac{4}{4}=\dfrac{m-1}{4}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(m+3\right)\left(m-1\right)}{16}=\dfrac{m+3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-1\right)=8\left(m+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3\\m=9\end{matrix}\right.\)

\(x^2+mx+4=0\left(1\right)\)

+)Vì phương trình có 1 nghiệm là -1, do đó theo tính chất nhấm nghiệm thì có \(a-b+c=0\)

⇒ nghiệm còn lại là \(-4\).

+) Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\) hay \(m^2-16\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-4\\m\ge4\end{matrix}\right.\)

Theo viét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)

Có : \(x_1^2+x^2_2=6m-13\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6m-13\)

\(\Leftrightarrow m^2-8=6m-13\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m+5=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-5\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(l\right)\\m=5\left(n\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy...