Cho A=\(\dfrac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\) tử số có 2022 dấu căn,mẫu số có 2021 dấu căn.Chứng minh A<\(\dfrac{1}{4}\).
A=\(\dfrac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\)
C/m A<\(\dfrac{1}{4}\) biết tử có 2010 dấu căn mẫu có 2009
\(A=\dfrac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\)
\(=\dfrac{3-\sqrt{3+x}}{6-x}\) \(\left(x=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}\text{ với 2009 dấu căn}\right)\)
\(=\dfrac{6-x}{\left(6-x\right)\left(3+\sqrt{3+x}\right)}=\dfrac{1}{3+\sqrt{3+x}}\)
Ta cần chứng minh \(\dfrac{1}{3+\sqrt{3+x}}< \dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3+x}>1\)
\(\Leftrightarrow x>-2\) đúng
\(\Rightarrowđpcm\)
cho biểu thức
\(M=\dfrac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{ }}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+..\sqrt{3}}}}}\)
tử số co 2014 dấu căn, mẫu số có 2013 dấu căn. chứng minh: M<\(\dfrac{1}{4}\)
Ta có :Đặt t = \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}} ( 2014 dấu căn )\)
\(\Rightarrow\) t > \(\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}\)(2013 dấu căn ) = \(t^2 -3\)
Do đó : \(M = \frac{3-t}{6-( t^2 - 3 )}\)= \(\frac{3-t}{9-t^2}\) = \(\frac{3-t}{(3-t)(3+t)}\) = \(\frac{1}{3+t}\)
Vì t>1 \(\Rightarrow\) 3+t > 4 \(\Rightarrow\) \(\frac{1}{3+t}\) < \(\frac{1}{4}\)
Vậy M < \(\frac{1}{4}\)
Cho biểu thức : \(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\),Biết tử số có 2010 dấu căn;mẫu số có 2009 dấu căn
Chứng minh \(A<\frac{1}{4}\)
Đặt \(a=\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}\)(có 2010 dấu căn), suy ra :
\(a^2=3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}\)(có 2009 dấu căn), nên
\(a^2-3=\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}\)(có 2009 dấu căn), do đó ta có :
\(\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=\frac{3-a}{6-\left(a^2-3\right)}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{3-a}{\left(3-a\right)\left(3+a\right)}=\frac{1}{3+a}\).
Do \(a+3>4\) nên \(\frac{1}{3+a}<\frac{1}{4}\) hay \(\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}<\frac{1}{4}\) (đpcm).
Cho biểu thức:
\(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\)
Tử thức có 2019 dấu căn,mẫu thức có 2018 dấu căn.CMR: A không thể là 1 số nguyên
Xét tử :
\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>3-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+\sqrt{64}}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>3-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+8}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>3-\sqrt{64}=3-8=-5\) ( bước này tự hiểu nhé )
Xét mẫu :
\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 6-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 6-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+2}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 6-\sqrt{4}=6-2=4\) ( bước này cũng tự hiểu -,- )
\(\Rightarrow\)\(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}>\frac{-5}{4}>-1\) \(\left(1\right)\)
(Xét 1 lần nữa -,- )
Xét tử :
\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+2}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}< 3-\sqrt{4}=3-2=1\)
Xét mẫu :
\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>6-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+\sqrt{64}}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>6-\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+...+8}}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>6-\sqrt{64}=6-8=-2\)
\(\Rightarrow\)\(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}< \frac{1}{-2}< 0\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(-1< A< 0\)
Vậy A không thể là 1 số nguyên
...
Có cách khác ngắn hơn nha bn!
Đặt:
\(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a>0\)(có 2019 dấu căn)
\(\Rightarrow3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a^2\) (có 2018 dấu căn)
\(\Rightarrow\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a^2-3\) (có 2018 dấu căn)
Thay vào A,ta đc:
\(A=\frac{3-a}{6-\left(a^2-3\right)}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{1}{3+a}\)
Do a>0 \(\Rightarrow0< A=\frac{1}{3+a}< 1\)
Vậy : A ko thể là số nguyên
Cho biểu thức:
\(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+....+\sqrt{3}}}}}\)
Tử có 2017 dấu căn, mẫu có 2016 dấu căn. Chứng minh \(A< \frac{1}{4}\)
Cho \(P=\frac{3-\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6}}}}}{3-\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...\sqrt{6}}}}}\) ( trên tử có 2021 dấu căn, dưới mẫu có 2020 dấu căn)
Chứng minh rằng : \(\frac{1}{6}< P< \frac{5}{29}\)
\(\text{Đặt: }\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+....}}}=a\Rightarrow a^2=6+a\Leftrightarrow a^2-a-6=\left(a-3\right)\left(a+2\right)=0\)
thấy ngay a không thể đạt giá trị âm nên
a=3 thay vào P=0 (vô lí) -> đề sai.
1/ Thực hiện phép tính:
\(\left(\sqrt[3]{200}+5\sqrt{150}-7\sqrt{600}\right):\sqrt{50}\)
2/ Cho biểu thức: \(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}}\)
(Tử số có 2010 dấu căn, mẫu số có 2009 dấu căn)
Chứng minh A < \(\frac{1}{4}\)
\(\left(\sqrt{200}+5\sqrt{150}-7\sqrt{600}\right):\sqrt{50}=2+5\sqrt{3}-7\sqrt{12}\)
\(2+5\sqrt{3}-14\sqrt{3}=2-9\sqrt{3}\)
Chứng minh rằng \(\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...\sqrt{3}}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...\sqrt{3}}}}}
Đặt cái căn dưới mẫu là a, suy ra căn trên tử là \(\sqrt{3+a}\). Nếu đề chính xác thì biến đổi tương đương nhẹ nhàng là ra :))
Ta c/m \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}>1\) (2010 dấu căn) (1)
Thật vậy: \(VT>\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{1}}}}\)
\(=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+1}}}=\sqrt{3+\sqrt{3+2}}=\sqrt{3+\sqrt{5}}>2\)
Vậy (1) đúng
Đặt \(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}=a\left(a>2\right)\) (có 2010 dấu căn)
Suy ra \(3+\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a^2\) (có 2009 dấu căn)
Suy ra \(\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}=a^2-3\)
Thay vào,ta có: \(VT=\frac{3-a}{6+3-a^2}=\frac{3-a}{9-a^2}=\frac{3-a}{\left(3-a\right)\left(3+a\right)}=\frac{1}{3+a}\)
Mà a > 2 nên \(VT=\frac{1}{3+a}< \frac{1}{3+2}=\frac{1}{5}< \frac{1}{4}^{\left(đpcm\right)}\) (không chắc nha!)
Cho biểu thức \(A=\frac{3-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}{6-\sqrt{3+\sqrt{3+...+\sqrt{3}}}}\) tử có 2010 dấu căn, mẫu có 2009 dấu căn. Chứng minh A < 1/4