\(1.a,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=\left(ac\right)^2+2abcd+\left(bd\right)^2+\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(b,\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)-\left(ad-bc\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\left(luôn-đúng\right)\)

\(dấu"='\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(c2:x+y=2\Rightarrow\left(x+y\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\ge4\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2\)

\(dấu"="\) \(xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=1\)

Câu 1:

a)Ta có (ac+bd)²+(ad-bc)²=(ac)²+2abcd+(bd)²+(ad)²-2abcd+(bc)²

                                          =(ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²

                                          =a²(c²+d²)+b²(c²+d²)

                                          =(a²+b²)(c²+d²) (đpcm)

b)Ta có (ac+bd)² = (ac)²+2abcd+(bd)²

Lại có (a²+b²)(c²+d²) = (ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²

Ta có (ac+bd)² ≤  (a²+b²)(c²+d²) 

<=>(a²+b²)(c²+d²) - (ac+bd)² ≥ 0

<=>(ac)²+(bd)²+(ad)²+(bc)²-[(ac)²+2abcd+(bd)²]

<=>(ad)² - 2abcd +(bc)² ≥ 0

<=>(ad-bc)² ≥ 0 (Luôn đúng) => đpcm

Câu 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki, ta có (x+ y)² ≤ (x² + y²)(1² + 1²) => 4  2.S => 2  S

Dấu ''='' xảy ra <=> x=y=1

Vậy Min S=2 <=> x=y=1

cứu

1)chứng minh cái j ???

2)\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+2abcd+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)

b)Ta có: 

\(\left(ab+cd\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+c^2d^2+2abcd\le a^2b^2+a^2d^2+b^2c^2+c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)(Đpcm)

c)Áp dụng Bđt Bunhiacopxki ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=2^2=4\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge4\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge2\)\(\Rightarrow S\ge2\)

Dấu = khi \(x=y=1\)

a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)

hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)

b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)

b) Ta có: \(a\left(b^2-c^2\right)+b\left(c^2-a^2\right)+c\left(a^2-b^2\right)\)

\(=ab^2-ac^2+bc^2-ba^2+ca^2-cb^2\)

\(=\left(ab^2-cb^2\right)+\left(ca^2-c^2a\right)+\left(bc^2-ba^2\right)\)

\(=b^2\left(a-c\right)+ca\left(a-c\right)+b\left(c^2-a^2\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b^2+ca\right)-b\left(a-c\right)\left(a+c\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left(b^2+ca-ba-bc\right)\)

\(=\left(a-c\right)\left[b\left(b-a\right)+c\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[b\left(b-a\right)-c\left(b-a\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)

trời ơi cái qq gì í đây

1/ Nên nhớ ta có kết luận này: (a - b)² = (b - a)² 
(Khai triển ra thấy ngay hoặc xem ?7 trang 11 SGK Toán 8) 
Vậy biểu thức viết lại dưới dạng: a² + 2ab + b² (Với a = x - y + z và b = y - z) 
(x - y + z)² + (z - y)² + 2(x - y + z)(y - z) 
= (x - y + z)² + 2(x - y + z)(y - z) + (y - z)² 
= (x - y + z + y - z)² 
= x²

2/

b) Đẳng thức <=> (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² = (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd) + 2ac.bd - 2ad.bc 
<=> 2.ad.bc - 2.ad.bc = 0 
<=> 0 = 0 ( đúng ) => đẳng thức đã cho đúng 

3/ A= x^2-2x+5=(x^2-2x+1)+4=(x-1)^2 +4 
Nhận xét: (x-1)^2 >=0 (do bình phương của 1 số luôn không âm) 
=> (x-1)^2+4>=4(cộng cả 2 vế với 4) 
hayA>= 4 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=1 
vậy   min A =4 <=> x=1 

\(a,VT=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)

\(VP=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)

\(\Rightarrow VT=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2=VP\left(đpcm\right)\)

b, Tham khảo:Chứng minh hằng đẳng thức:(a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) - Hoc24

\(A=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{2c}{ac+2c+2}\)

\(=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{abc^2}{ac+abc^2+abc}\)

\(=\frac{a}{a\left(bc+b+1\right)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{abc^2}{ac\left(bc+b+1\right)}\)

\(=\frac{1}{bc+b+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{bc}{bc+b+1}\)

\(=\frac{bc+b+1}{bc+b+1}=1\)