Ta có :

\(\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right)-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(2\right)\) (vì \(a+b+c=0\))

\(\left(1\right)+\left(2\right)\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4+c^4\right)=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\\\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\\\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{ab}{cd}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

Í em mới lớp 7 thôi hả

Vậy mà giỏi đến mức được làm công tác viên òi

Tức là chị là chị của công tác viên hí hí 
~ lớp 8 ~

Lớp 7 nhưng chịu quá nhiều tai tiếng ạ,vs như lúc đó ko thuộc hằng đẳng thức bình phương của một tổng,làm xàm thế là...

What !!!   Lớp 7 chi học hằng đẳng thức !!!

Tai chị có thể nghe nhầm nhưng mắt chị thì đọc ik đọc lại sao nhầm đây???

Rõ là lớp 8 ( bọn chị ) mới học mừ 

Ta có : a + b + c = 0

( a + b + c )\(^2\) = 0

\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

Nên : \(a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8ab^2c+8abc^2+8a^2bc\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+8abc\left(b+c+a\right)\)

\(a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

Lại có : \(2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc\right)\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4ab^2c+4abc^2+4a^2bc\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4abc\left(b+c+a\right)\)

\(=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\)

Vì : \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=2a^2b^2+2b^2c^2=2c^2a^2\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\)

Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn

\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM

\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)

Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM

Bài 2:

Quy đồng  BĐT trên ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)

Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM 

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)

Tương tự rồi cộng theo vế

Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]

\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=4\left(ab+bc+ac\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(ab+bc+ac\right)\right]\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ac\right)^2\)

a) a² + b² + c2 = ab + ac + bc

=> 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2ac + 2bc

=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2ac - 2bc = 0

=> (a² - 2ab + b²) + (a² - 2ac + c²) + (b² - 2bc + c²) = 0

=> (a - b)² + (a - c)² + (b - c)² = 0 

Do 3 hạng tử trên đều có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 nên a - b = a - c = b - c = 0

=> a = b = c 

b) a³ + b³ + c³ = 3abc

=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

=> a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + c³ - 3abc - 3a²b - 3ab² = 0

=> (a + b)³ + c³ - 3ab(a + b + c) = 0

=> (a + b + c)(a² + 2ab + b² - bc - ac + c²) - 3ab(a + b + c) = 0

=> (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac) = 0 

=> a + b + c = 0

hoặc a² + b² + c² = ab + bc + ac =>  a = b = c

a)\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)

b)\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)

b/ Ta có: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)+\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}.\left(\frac{2a}{c}+\frac{2b}{a}+\frac{2c}{b}\right)=\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)