Khi chia cho đa thức bậc 2 thì dư tối đa là bậc 1, giả sử đó là \(ax+b\)

\(\Rightarrow x^{2019}+x^{2018}+x+2018=\left(x^2-1\right).P\left(x\right)+ax+b\)

Trong đó \(P\left(x\right)\) là đa thức thương (ko cần quan tâm)

Thay lần lượt \(x=-1\) và \(x=1\) vào ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2017=-a+b\\2021=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=2019\end{matrix}\right.\)

Đa thức dư là \(2x+2019\)

Lời giải:

Vì $x^2-1$ là đa thức bậc 2 nên đa thức dư khi chia $x^{2019}+x^{2018}+x+2018$ cho $x^2-1$ phải có bậc nhỏ hơn 2.

Đặt đa thức dư cần tìm là $ax+b$

Ta có:

\(x^{2019}+x^{2018}+x+2018=Q(x)(x^2-1)+ax+b\) với $Q(x)$ là đa thức thương

Lần lượt thay $x=1,x=-1$ ta có:

\(\left\{\begin{matrix} 2021=a+b\\ 2017=-a+b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=2019\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức dư là $2x+2019$

Đặt \(f\left(x\right)=ax^{3\: }+bx^2+c\)

Gọi g(x), h(x) lần lượt là thương khi chia đa thức f(x) cho đa thức x-2

và đa thức \(x^2-1\)

+ \(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot g\left(x\right)\) (1)

\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\cdot h\left(x\right)+2x+5\) (2)

Thay x = 2 vào (1) ta có :

\(f\left(2\right)=\left(2-2\right)\cdot g\left(x\right)=0\)

\(\Rightarrow8a+4b+c=0\)

+ Lần lượt thay \(x=1\) và x = -1 vào (2) ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=0\\f\left(-1\right)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2\cdot1+5=7\\-a+b+c=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2a=4\Rightarrow a=2\)( TM )

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4b+c=-16\\b+c=5\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-7\\c=12\end{matrix}\right.\) ( TM )