Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a, SB vuông góc với (ABCD) và SB = 2a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và DA. Tính khoảng cách giữa CN và SD ?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM)
A. d = 3 a 2 .
B. d = a .
C. d = 2 a 3 .
D. d = a 3 .
Đáp án là D
+ Gọi O là giao điểm của AC,BD
⇒ MO \\ SB ⇒ SB \\ ACM
⇒ d SB,ACM = d B,ACM = d D,ACM .
+ Gọi I là trung điểm của AD ,
M I \ \ S A ⇒ M I ⊥ A B C D d D , A C M = 2 d I , A C M .
+ Trong ABCD: IK ⊥ AC (với K ∈ AC ).
+ Trong MIK: IH ⊥ MK (với H ∈ MK ) (1) .
+ Ta có: AC ⊥ MI ,AC ⊥ IK ⇒ AC ⊥ MIK
⇒ AC ⊥ IH (2) .
Từ 1 và 2 suy ra
IH ⊥ ACM ⇒ d I ,ACM = IH .
+ Tính IH ?
- Trong tam giác vuông MIK. : I H = I M . I K I M 2 + I K 2 .
- Mặt khác: M I = S A 2 = a , I K = O D 2 = B D 4 = a 2 4
⇒ I H = a a 2 4 a 2 + a 2 8 = a 3
Vậy d S B , A C M = 2 a 3 .
Lời giải khác
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, SD. Tính khoảng cách giữa AP và MN.
A. 3 a 15
B. 3 a 5 10
C. 4 a 15
D. a 5 5
Chọn B.
Gọi Q là trung điểm CD, ta có PQ//SC//MN nên MN//(APQ)
=> d(MN, PQ)=d(MN, (APQ))=d(N,(APQ))
Vì N D ⊥ H C N D ⊥ S H ⇒ N D ⊥ ( S H C )
⇒ N D ⊥ S C ⇒ N D ⊥ P Q
A Q → . N D → = ( A D → + D Q → ) . ( D C → + C N → ) = 0 → ⇒ A Q ⊥ N D
Vậy có
N D ⊥ P Q N D ⊥ A Q ⇒ N D ⊥ A P Q t ạ i E ⇒ d ( M N , A P ) = N E
Mà có
1 D E 2 = 1 D A 2 + 1 D Q 2 = 5 a 2 ⇒ D E = a 5
Và D N = a 5 2 ⇒ E N = 3 a 5 10
Vậy d ( M N , A P ) = 2 a 10
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, SD. Tính khoảng cách giữa AP và MN.
A. 3 a 15
B. 3 a 5 10
C. 4 a 15
D. a 5 5
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a .Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,BC,SD. Tính khoảng cách giữa AP và MN
A. 3 a 15
B. 4 15 a
C. 3 a 5 10
Đáp án C.
Trong không gian Oxyz:
Chọn A ≡ O 0 ; 0 ; 0 ; B a ; 0 ; 0 ; D 0 ; a ; 0 ; C a ; a ; 0
⇒ H a 2 ; 0 ; 0 ; S a 2 ; 0 ; a 3 2 ; M 3 a 4 ; 0 ; a 3 4 ; N a ; a 2 ; 0 ; P a 4 ; a 2 ; a 3 4
Ta có:
⇒ d M N ; A P = M N → ; A P → . A M → M N → ; A P → = 3 5 10 a
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang cân, A D = a , A B = a , B C = a , C D = 2 a . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính cosin góc giữa MN và (SAC) biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 3 3 4
A. 310 20
B. 3 5 10
C. 3 310 20
D. 5 10
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\) và \(SD\). Tính khoảng cách giữa \(AM\) và \(NP\).
tham khảo
\(SA\perp\left(SBCD\right)\) nên \(SA\perp BC\)
Mà \(BC\perp AB\) nên \(BC\perp\left(SAB\right)\)
Tam giác \(SBC\) có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN//BC,MN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\text{}\)
Suy ra:\(MN\perp\left(SAB\right)\) và \(MN\perp AM\)
Tam giác \(SCD\) có \(NP\) là đường trung bình nên \(NP//CD\)
Mà \(MN//BC,BC\perp CD\)
Suy ra \(MN\perp NP\)
Vậy \(d\left(AM,NP\right)=MN=\dfrac{a}{2}\)
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh mặt phẳng (SIK) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
a) Gọi O là tâm hình vuông ABCD , dễ thấy I, O, K thẳng hàng. Vì K là trung điểm của BC nên SK ⊥ BC.
Ta có
Do đó (SBC) ⊥ (SIK)
b) Hai đường thẳng AD và SB chéo nhau. Ta có mặt phẳng (SBC) chứa SB và song song với AD. Do đó khoảng cách giữa AD và SB bằng khoảng cách giữa AD và mặt phẳng (SBC).
Theo câu a) ta có (SIK) ⊥ (SBC) theo giao tuyến SK và khoảng cách cần tìm là IM, trong đó M là chân đường vuông góc hạ từ I tới SK. Dựa vào hệ thức IM. SK = SO. IK
ta có
Ta lại có:
Do đó:
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy bằng 60 0 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính thể tích của khối chóp S.AMN
A. V S . A M N = a 3 3 12
B. V S . A M N = a 3 3 24
C. V S . A M N = a 3 3 3
D. V S . A M N = a 3 3 6
Đáp án B
Ta có: S B A ^ = 60 ∘ ⇒ S A = A B tan 60 ∘ = a 3
V A . A C D = 1 3 S A . S A C D = 1 3 . a 3 . a 2 2 = a 3 3 6
Lại có: V S . A M N V S . A C D = S M S C . S N S D = 1 4 ⇒ V S . A M N = a 3 3 24
Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với ABCD. Góc giữa SB ,(ABCD) = 60. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB,SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và CM?
Từ M kẻ MI//CN =>d(CN,MI)= d(C;SAD)= CD. Yếu tố góc 60 mình không biết có phải thừa hay ko?
bài mình được chữa đây. mn ai thích thì tham khảo nhé. Hay và khó ạ!
Sửa đề bài: d(AM,CN). MS=MD. NS=NB
SAD ΩSBC =PT. Kẻ TQ //AM. =>AM// (TCQ). d(AM,CN)=d(A, TCQ)
Từ T kẻ TH //SA. Từ H kẻ HK vuông với QC => QC vuông với THK. Kẻ HI vuông với TK => HI vuông với TCQ =>d (H, TCQ)= HI. Mặt #, \(\frac{d\left(A,TCQ\right)}{d\left(H,TCQ\right)}\)= \(\frac{AQ}{AH}\) => Tính HI => Có: TH= SA->Tính HK?
Có: QHK ∞ QDC. => \(\frac{HK}{CD}\) = \(\frac{QH}{QC}\)
QH= AD= AH=1/3QD.( Do PTHD là hcn=> PT= DH, có ST =AH(STAH: hbh) , PS= QH(PTAQ: hbh, ST=AH), PS= AD(PSAD:hbh, do M: TĐ SD, AP (SM=AM, SPA vuông tại S) ->PS=ST=AD=AH=HQ=> HK