\(Ax\perp AB\)

\(By\perp AB\)

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có AC // BD

Suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}\) ( hệ quả định lí Ta-lét )     (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM      (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Trong tam giác ACD, ta có:  \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: \(AC\perp AB\) ( vì \(Ax\perp AB\) )

Suy ra: \(MN\perp AB\)

b. Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra:  \(\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DA}\)( hệ quả định lí Ta-lét )     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC ( vì M, N, H thẳng hàng )

Suy ra:  \(\frac{HN}{AC}=\frac{BN}{BC}\)( hệ quả định lí Ta-lét )     (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{BN}{NC}\) ( hệ quả định lí Ta-lét )

 \(\Rightarrow\frac{ND}{\left(DN+NA\right)}=\frac{BN}{BN+NC}\Leftrightarrow\frac{ND}{DA}=\frac{BN}{BC}\left(5\right)\)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:  \(\frac{MN}{AC}=\frac{HN}{AC}\Rightarrow MN=HN\)

Ax \(\perp\) AB

By \(\perp\) AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Trong tam giác BND, ta có AC // BD

Suy ra:  \(\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}\)(hệ quả định lí Ta-lét)     (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Trong tam giác ACD, ta có: \(\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}\)

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: AC \(\perp\) AB (vì Ax \(\perp\) AB)

Suy ra: MN \(\perp\) AB

b. Trong tam giác ACD, ta có: MN // AC

Suy ra: \(\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DA}\) (hệ quả định lí Ta-lét)     (3)

Trong tam giác ABC, ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng)

Suy ra: \(\frac{HN}{AC}=\frac{BN}{BC}\) (hệ quả định lí Ta-lét)     (4)

Trong tam giác BDN, ta có: AC // BD

Suy ra: \(\frac{ND}{NA}=\frac{BN}{NC}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\frac{ND}{\left(DN+NA\right)}=\frac{BN}{\left(BN+NC\right)}\Leftrightarrow\frac{ND}{DA}=\frac{BN}{BC}\left(5\right)\)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: MN/AC = HN/AC => MN = HN

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

Ta có:

$\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}={180}^o$

$\iff \widehat{O_2}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_3}={180}^o$ (do $\widehat{O_1}=\widehat{O_2},\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$)

$\iff 2\widehat{O_2}+2\widehat{O_3}={180}^o\iff \widehat{O_2}+\widehat{O_3}={90}^o\iff \widehat{COD}={90}^o$

b)

Ta có: CM = AC, MD = BD (chứng minh trên)

Lại có: CD = CM + MD = AC + BD (đcpcm)

c)

Ta có: CM = AC, MD = BD (chứng minh trên)

Xét tam giác COD vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

$M{O}^2=MC.MD=AC.BD=R^2$ (do MO = R)

Vì bán kính đường tròn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn nên  không đổi do đó tích AC. BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

1: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

=>CA=CM và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

=>DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COM+góc DOM=1/2(góc MOA+góc MOB)

=>góc COD=1/2*góc AOB=90 độ

2: CD=CM+MD

mà CM=CA và MD=DB

nên CD=CA+DB

3: AC*BD=CM*MD

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên CM*MD=OM^2

=>AC*BD=R^2 không đổi

a: Xét tứ giác ADMO có

góc DAO+góc DMO=180 độ

nên ADMO là tứ giác nội tiếp

b: Gọi N là trung điểm của CD

Xét hình thang ABCD ccó

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên ON là đường trung bình

=>ON//AD//BC

=>ON vuông góc với AB

=>AB là tiếp tuyến của (N)

a: góc OAC+góc OMC=180 độ

=>OACM nội tiếp

b: góc BOM=2*60=120 độ

=>góc BDM=60 độ

=>ΔBMD đều

\(S_{qMB}=\dfrac{pi\cdot R^2\cdot120}{360}=\dfrac{1}{3}\cdot pi\cdot R^2\)