a, Ta có : BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) = BĐT cauchuy .

-> Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\\c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\end{matrix}\right.\)

- Cộng 2 bpt lại ta được :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right)\)

- Mà \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2abcd\)

=> \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2.2abcd=4abcd\)

b, CMTT câu 1 .

- Áp dụng BĐT cauchuy ta được :

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)

- Nhân 3 bpt trên lại ta được :

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2.2.2abc=8abc\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

\(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

Mà \(2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2ab.2cd}=4abcd\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương \(a^4,b^4,c^4,d^4\), ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^4b^4}+2\sqrt{c^4d^4}\)

\(=2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2\cdot2c^2d^2}=2\cdot2\left|abcd\right|=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)

Dấu "=" khi a = b = c = d.

Cách khác áp dụng cho 4 số luôn:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\).

Vậy......................

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b²

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d²

⇒ a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 2a²b² + 2c²d²

⇔ VT ≥ 2\(\sqrt{4\text{a}^2b^2c^2d^2}\) = 4abcd = VP

Vậy a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd

#)Giải :

Áp dụng BĐT Cauchy 2 số :

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\left(đpcm\right)\)

Với mọi a, b, c, d

ta có: \(0\le\left(a^2-b^2\right)^2=a^4-2a^2b^2+b^4\)

=> \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)

tương tự: \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd\)

=> \(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)

Vậy ta có điều cần phải chứng minh.

Bạn T.Ps sai rồi nha!Nó có dương đâu mà Cauchy

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(ab-cd\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

P/S:E ko chắc

@Nguyễn Việt Lâm

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số không âm ta có:

a⁴+b⁴\(\ge\)2a²b²

c⁴+d⁴\(\ge\)2c²d²

=>a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)2(a²b²+c²d²)(1)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT coossi cho 2 số không âm ta có:

a²b²+c²d²\(\ge\)2abcd

=>(1) tương đương a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)4abcd

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=cd\\a^2=b^2\\c^2=d^2\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}-a=b\\c=-d\end{matrix}\right.\)hoặc\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\end{matrix}\right.\)

Vậy...

\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a^3+b^3+b^3}\ge a-\frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{a^3.b^3.b^3}}=a-\frac{2}{3}b\)

Tương tự ta có

\(\frac{b^4}{b^3+2c^3}\ge b-\frac{2}{3}c\) ; \(\frac{c^4}{c^3+2d^3}\ge c-\frac{2}{3}d\) ; \(\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge d-\frac{2}{3}a\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge a+b+c+d-\frac{2}{3}\left(a+b+c+d\right)=\frac{a+b+c+d}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

Mong các bạn có thể giúp mik, mik đang cần rất gấp. Cảm ơn các bạn nhiều!

\(P=\dfrac{4a^2}{4b+2c}+\dfrac{4b^2}{4a+2c}+\dfrac{c^2}{4a+4b}\ge\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{8a+8b+4c}\)

\(=\dfrac{\left(2a+2b+c\right)^2}{4\left(2a+2b+c\right)}=\dfrac{1}{4}\left(2a+2b+c\right)\)

Câu 1:
\(4\sqrt[4]{\left(a+1\right)\left(b+4\right)\left(c-2\right)\left(d-3\right)}\le a+1+b+4+c-2+d-3=a+b+c+d\)

Dấu = xảy ra khi a = -1; b = -4; c = 2; d= 3

\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^2b}\ge\frac{2}{b^3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b^5}\ge\frac{2}{b^3}-\frac{1}{a^2b}\)

\(\frac{2}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{3}{a^2b}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a^2b}\le\frac{2}{3a^3}+\frac{1}{3b^3}\)

\(\Rightarrow\)\(\Sigma\frac{a^2}{b^5}\ge\Sigma\left(\frac{5}{3b^3}-\frac{2}{3a^3}\right)=\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)

ta sẽ giết ngươi kí tên dép đờ kiu lờ