Lời giải:

Với $n$ nguyên, để $A$ nguyên thì $2n-1\vdots -n+3$

Hay $2n-1\vdots n-3$

$\Rightarrow 2(n-3)+5\vdots n-3$

$\Rightarrow 5\vdots n-3$

$\Rightarrow n-3\in\left\{\pm 1; \pm 5\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{4; 2; -2; 8\right\}$

a) Với p=2

⇒ 5p+3=13 (TM)

Với p>2 

⇒ p=2k+1

⇒ 5p+3=5(2k+1)+3

             =10k+8 ⋮2

⇒ là hợp số (L)

Vậy p=2

a) Ta có:\(n-6⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1-5⋮n-1\)

mà \(n-1⋮n-1\)

nên \(-5⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(-5\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

b) Ta có: \(3n+2⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow3n-3+5⋮n-1\)

mà \(3n-3⋮n-1\)

nên \(5⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\inƯ\left(5\right)\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

c) Ta có: \(n^2+5⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow n^2+2n+1-2n+4⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)^2-2n-2+6⋮n+1\)

mà \(\left(n+1\right)^2⋮n+1\)

và \(-2n-2⋮n+1\)

nên \(6⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow n+1\inƯ\left(6\right)\)

\(\Leftrightarrow n+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;-2;1;-3;2;-4;5;-7\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{0;-2;1;-3;2;-4;5;-7\right\}\)

Sao cho gì bạn

ở câu A (n-6):(n-1) hay là (n-6)⋮(n-1) vậy bn???

Lời giải:

a.

Nếu $n=0$ thì $2^n+22=23$ là snt (thỏa mãn)

Nếu $n>0$ thì $2^n$ chẵn, $22$ chẵn

$\Rightarrow 2^n+22$ chẵn. Mà $2^n+22>2$ nên không thể là snt (trái đề bài)

Vậy $n=0$

b. $13n$ là snt khi $n<2$

Mà $n$ là snt nên $n=0,1$. Nếu $n=0$ thì $13n=0$ không là snt

Nếu $n=1$ thì $13n=13$ là snt (tm)

bai toan nay kho

a) \(\Rightarrow\left(n+1\right)+5⋮\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

Do \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;4\right\}\)

b) \(\Rightarrow2\left(2n+1\right)+7⋮\left(2n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)\inƯ\left(7\right)=\left\{-7;-1;1;7\right\}\)

Do \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;3\right\}\)

Để n + 6 ⋮ n + 1 thì :

⇒ n + 1 + 5 ⋮ n + 1 mà n + 1 ⋮ n + 1

    Như thế 5 ⋮ n + 1 và n + 1 ∈ Ư(5)

⇒ Ư(5)={ 1;5 } 

n + 1 = 1 ⇒ n = 0

n + 1 = 5 ⇒ n = 4

   Vậy .............

Bài 10:

a: 2x-3 là bội của x+1

=>\(2x-3⋮x+1\)

=>\(2x+2-5⋮x+1\)

=>\(-5⋮x+1\)

=>\(x+1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;-2;4;-6\right\}\)

b: x-2 là ước của 3x-2

=>\(3x-2⋮x-2\)

=>\(3x-6+4⋮x-2\)

=>\(4⋮x-2\)

=>\(x-2\inƯ\left(4\right)\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1;4;0;6;-2\right\}\)

Bài 14:

a: \(4n-5⋮2n-1\)

=>\(4n-2-3⋮2n-1\)

=>\(-3⋮2n-1\)

=>\(2n-1\inƯ\left(-3\right)\)

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(2n\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

mà n>=0

nên \(n\in\left\{1;0;2\right\}\)

b: \(n^2+3n+1⋮n+1\)

=>\(n^2+n+2n+2-1⋮n+1\)

=>\(n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)-1⋮n+1\)

=>\(-1⋮n+1\)

=>\(n+1\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-2\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên n=0

Bài 16:

a: \(\left(x+5\right)\left(y-3\right)=15\)

=>\(\left(x+5\right)\left(y-3\right)=1\cdot15=15\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-15\right)=\left(-15\right)\cdot\left(-1\right)=3\cdot5=5\cdot3=\left(-3\right)\cdot\left(-5\right)=\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\)

=>\(\left(x+5;y-3\right)\in\left\{\left(1;15\right);\left(15;1\right);\left(-1;-15\right);\left(-15;-1\right);\left(3;5\right);\left(5;3\right);\left(-3;-5\right);\left(-5;-3\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-4;18\right);\left(10;4\right);\left(-6;-12\right);\left(-20;2\right);\left(-2;8\right);\left(0;6\right);\left(-8;-2\right);\left(-10;0\right)\right\}\)

mà (x,y) là cặp số tự nhiên

nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(10;4\right);\left(0;6\right)\right\}\)

b: x là số tự nhiên

=>2x-1 lẻ và 2x-1>=-1

\(\left(2x-1\right)\left(y+2\right)=24\)

mà 2x-1>=-1 và 2x-1 lẻ

nên \(\left(2x-1\right)\cdot\left(y+2\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-24\right)=1\cdot24=3\cdot8\)

=>\(\left(2x-1;y+2\right)\in\left\{\left(-1;-24\right);\left(1;24\right);\left(3;8\right)\right\}\)

=>\(\left(2x;y\right)\in\left\{\left(0;-26\right);\left(2;22\right);\left(4;6\right)\right\}\)

=>\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;-26\right);\left(1;11\right);\left(2;6\right)\right\}\)

mà (x,y) là cặp số tự nhiên

nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;11\right);\left(2;6\right)\right\}\)

c:

x,y là các số tự nhiên

=>x+3>=3 và y+2>=2

xy+2x+3y=0

=>\(xy+2x+3y+6=6\)

=>\(x\left(y+2\right)+3\left(y+2\right)=6\)

=>\(\left(x+3\right)\left(y+2\right)=6\)

mà x+3>=3 và y+2>=2

nên \(\left(x+3\right)\cdot\left(y+2\right)=3\cdot2\)

=>x=0 và y=0

d: xy+x+y=30

=>\(xy+x+y+1=31\)

=>\(x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=31\)

=>\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\cdot\left(y+1\right)=1\cdot31=31\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-31\right)=\left(-31\right)\cdot\left(-1\right)\)

=>\(\left(x+1;y+1\right)\in\left\{\left(1;31\right);\left(31;1\right);\left(-1;-31\right);\left(-31;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;30\right);\left(30;0\right);\left(-2;-32\right);\left(-32;-2\right)\right\}\)

mà (x,y) là cặp số tự nhiên

nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;30\right);\left(30;0\right)\right\}\)

Vì \(2\equiv-1\left(mod3\right)\)\(\Rightarrow2^n\equiv\left(-1\right)^n\left(mod3\right)\) Mà n là số nguyên tố nên n lẻ => \(2^n+1⋮3\) (1)

Mặt khác : Trong ba số nguyên liên tiếp : (n-1) , n , (n+1) ắt sẽ có một số chia hết cho 3 . Vì n là số nguyên tố , \(n\ge5\) nên một trong hai số (n-1) , (n+1) chia hết cho 3 . Do đó \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(A⋮3\)=> A không phải là số nguyên tố

Vậy loại trường hợp này.

Vậy n = 3 thoả mãn đề bài.

+ Với n = 2, ta có: A = 2² + 2² = 4 + 4 = 8, không là số nguyên tố, loại

+ Với n = 3, ta có: A =  2³ + 3² = 8 + 9 = 17, là số nguyên tố, chọn

+ Với n nguyên tố > 3 => n lẻ => n = 2k + 1 (k thuộc N*)

=> 2ⁿ = 2^2k+1 = 2^2k.2 = (2^k)².2

Do (2;3)=1 => (2^k,3)=1 => 2^k  không chia hết cho 3 => (2^k)²  không chia hết cho 3

=> (2^k)² chia 3 dư 1; 2 chia 3 dư 2 => (2^k)².2 chia 3 dư 2

=> 2ⁿ chia 3 dư 2 (1)

Do n nguyên tố > 3 => n không chia hết cho 3 => n²  không chia hết cho 3

=> n² chia 3 dư 1 (2)

Từ (1) và (2) => A = 2ⁿ + n² chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < 2ⁿ + n² => A = 2ⁿ + n²  là hợp số, loại

Vậy n = 3 thỏa mãn đề bài

Bài chứng minh của Bảo Ngọc chưa chặt chẽ ở chỗ này:

\(2\equiv\left(-1\right)\left(mod3\right)\)thì không suy ra được \(2^n\equiv\left(-1\right)^n\left(mod3\right)\)

Vì ví dụ : \(5\equiv\left(-1\right)\left(mod6\right)\)nhưng \(5^2=25\equiv1\left(mod6\right)\).