\(u_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\left(\dfrac{2}{1}+\dfrac{2^2}{2}+\dfrac{2^3}{3}+...+\dfrac{2^n}{n}\right)\).
Chứng minh \(\left(u_n\right)\) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2021\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2020}{u_n}\right)\end{matrix}\right.\) CMR un có giới hạn và tìm giới hạn đó
Dễ dàng nhận ra (hoặc chứng minh bằng quy nạp) dãy đã cho là dãy dương
\(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2020}{u_n}\right)\ge\dfrac{1}{2}.2\sqrt{2020}=\sqrt{2020}\)
\(\Rightarrow\) Dãy bị chặn dưới bởi \(\sqrt{2020}\)
Mặt khác:
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2020}{u_n^2}\right)\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{2020}{\sqrt{2020}^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow u_{n+1}\le u_n\Rightarrow\) dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới \(\Rightarrow\) dãy có giới hạn
Gọi giới hạn đó là L \(\Rightarrow\sqrt{2020}\le L\le2021\)
Lấy giới hạn 2 vế của \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2020}{u_n}\right)\Rightarrow L=\dfrac{1}{2}\left(L+\dfrac{2020}{L}\right)\)
\(\Rightarrow L^2=2020\Rightarrow L=\sqrt{2020}\)
Tính giới hạn của dãy số:
\(u_n=\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)
Một câu thôi: Liên hợp
\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\dfrac{2.1-\sqrt{2}}{2^2-2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9.2-4.3}=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Nên chứng minh bằng quy nạp mạnh cho chặt chẽ, giờ tui buồn ngủ quá nên bạn tự chứng minh nha :(
\(\Rightarrow u_n=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow\lim\limits\left(u_n\right)=\lim\limits\dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}}=1\)
Tìm giới hạn của dãy số \(\left(u_n\right)\) với :
a) \(u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^2+1}\)
b) \(u_n=\dfrac{2^n-n}{3^n+1}\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+2},\left(n\ge1\right)\end{matrix}\right.\)
a) Chứng minh rằng \(u_n>0\) với mọi \(n\)
b) Biết \(\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó ?
Cho dãy số (\(u_n\)) xác định: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=5\\u_{n+1}=2u_n-3\end{matrix}\right.\).Tìm giới hạn lim(\(\dfrac{u_n}{2^n}\))
Cho dãy số (\(u_n\)) xác định bởi công thức truy hồi :
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+1}{2};n\ge1\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng \(\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn khi \(n\rightarrow+\infty\)
Tìm giới hạn đó ?
Cho dãy số thực (un) xác định bởi : \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=\dfrac{3}{2}\\u_n=\sqrt{3u_{n-1}-2},\forall n\ge2\end{matrix}\right.\)
Chứng minh dãy số (un) có giới hạn hữu hạn khi \(n\rightarrow\infty\)
Ta sẽ chứng minh dãy bị chặn trên bởi 2
Thật vậy, với \(n=1;2\) thỏa mãn
Giả sử điều đó cũng đúng với \(n=k\) , tức \(u_k< 2\)
Ta cần chứng minh \(u_{k+1}< 2\)
Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{3u_k-2}< \sqrt{3.2-2}=2\) (đpcm)
Tương tự, ta cũng quy nạp được dễ dàng \(u_n>1\)
Mặt khác: \(u_n-u_{n-1}=\sqrt{3u_{n-1}-2}-u_{n-1}=\dfrac{3u_{n-1}-2-u_{n-1}^2}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}\)
\(=\dfrac{\left(2-u_{n-1}\right)\left(u_{n-1}-1\right)}{\sqrt{3u_{n-1}-2}+u_{n-1}}>0\)
\(\Rightarrow u_n>u_{n-1}\Rightarrow\) dãy tăng
Dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
Gọi giới hạn đó là k thì:
\(k=\sqrt{3k-2}\Leftrightarrow k=2\)
Cho dãy số (\(u_n\)) xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}0< u_n< 1\\u_n\left(1-u_{n+1}\right)>\dfrac{1}{4},\forall n\ge1\end{matrix}\right.\)
Chứng minh dãy số (\(u_n\)) có giới hạn hữu hạn khi \(n\rightarrow\infty\)
\(u_n-u_{n+1}=u_n+\left(1-u_{n+1}\right)-1\ge2\sqrt{u_n\left(1-u_{n+1}\right)}-1>0\)
\(\Rightarrow u_n>u_{n+1}\Rightarrow\) dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn.
Gọi giới hạn đó là k
\(\Rightarrow k\left(1-k\right)\ge\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(2k-1\right)^2\le0\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(\lim\left(u_n\right)=\dfrac{1}{2}\)
1. Tìm lim un
a. \(u_n=\dfrac{1}{2^2-1}+\dfrac{1}{3^2-1}+...+\dfrac{1}{n^2-1}\)
b. \(u_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
c.\(u_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1+2}+...+\dfrac{1}{1+2+...+n}\)
d. \(u_n=\left[\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\right]\)
Ai giúp mk với hoặc gợi ý cho mik cx đc . Tks nhiều
a.
\(u_n=\dfrac{1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{\left(n-2\right)n}+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(\Rightarrow\lim u_n=\lim\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)
b.
\(u_n=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(=1-\dfrac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow\lim u_n=\lim\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1\)
c.
\(1+2+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+2+...+n}=\dfrac{2}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}\)
\(\Rightarrow u_n=1+\dfrac{2}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{4}+...+\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}\)
\(=1+1-\dfrac{2}{n+1}=2-\dfrac{2}{n+1}\)
\(\Rightarrow\lim u_n=\lim\left(2-\dfrac{2}{n+1}\right)=2\)