ta có y+4=(x-2)²=x²-4x+4 (1)

x+4=(y+2)²=y²-4y+4 (2)

Cộng (1)và (2), vế theo vế ta có :

x+y+8=x²-4x+4+y²-4y+4

\(\Rightarrow\) x²+y²=5x+5y

Lời giải:

Bài 1:

\((x+\sqrt{x^2+2016})(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(\star)\)

\(\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+2016})(x-\sqrt{x^2+2016})(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(x-\sqrt{x^2+2016})\)

\(\Leftrightarrow -2016(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(x-\sqrt{x^2+2016})\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2016}=\sqrt{x^2+2016}-x(1)\)

Tương tự nhưng nhân \(y-\sqrt{y^2+2016}\) vào PT \((\star)\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{x^2+2016}=\sqrt{y^2+2016}-y(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow x=-y\)

\(\Rightarrow (x+\sqrt{x^2+2016})(\sqrt{x^2+2016}-x)=2016\Leftrightarrow 2016=2016\) ( luôn đúng)

Vậy PT có nghiệm \((x,y)=(x,-x)\) với \(x\in\mathbb{R}\)

Bài 2:

Do \((3x^2-2)^2,y^4,y^2\geq 0\) với mọi \(x,y\in\mathbb{R}\) nên:

Ta có \(M=9x^4+7y^4-12x^2+4y^2+5=(3x^2-2)^2+7y^4+4y^2+1\geq 1\)

Vậy \(M_{\min}=1\Leftrightarrow (x,y)=\left(\pm\sqrt{\frac{2}{3}},0\right)\)

Nhân cả 2 vế của pt đã cho với \(\left(x-\sqrt[]{x^2+2016}\right)\)

Rồi lại nhân cả 2 vế của pt đã cho với \(\left(y-\sqrt[]{y^2+2016}\right)\)

Trừ vế cho về của 2 pt thu được ta có x = -y
Khi đó thay vào M rồi chuyển về HĐT bình phương 1 hiệu sẽ tìm được GTNN .
Xin lỗi vì không giải kĩ giúp bạn được, mong bạn thông cảm. Chúc bạn học tốt !

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số thực không âm ta có:

\(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}\times4\left(y-1\right)}=4x\) (1)

\(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x-1}\times4\left(x-1\right)}=4y\) (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế , ta được:

\(P+4y-4+4x-4\ge4x+4y\)

\(\Rightarrow P\ge8\)

Dấu "\(=\)" xảy ra khi : \(x=y=2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\) là 8 khi \(x=y=2\)

Cần chứng minh \(P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge8\) thật vậy:

Đặt \(\left\{\begin{matrix}x-1=a\\y-1=b\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b>0\right)\) ta có bđt cần cm tương đương:

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)a+\left(b^2+2b+1\right)b\ge8ab\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+2a^2+a+b^3+2b^2+b\ge8ab\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(2a^2+2b^2\ge2\sqrt{2a^2\cdot2b^2}=4ab\)

\(a^3+b^3+a+b\ge4\sqrt[4]{a^4b^4}=4ab\)

Cộng theo vế ta có đpcm

Vậy GTNN của BT là 8

a) x²_{- y}²_-x²_+2xy-y²= (x-y)(x+y)-(x-y)²_{= (x-y)(x+y-x+y)= 2y(x-y)} 

b) x⁶_+x⁴_+x²_y²_{= x}²_(x³_+x²_+y²₎

Có : x+y=2

<=>(x+y)^2 = 4

<=>x^2+y^2+2xy=4

<=>2xy=4-(x^2+y^2) = 4-20 = -16

Khi đó : x^2+y^2-2xy=20-(-16)=36

Hay (x-y)^2=6

<=> x-y = 6 hoặc y-x=6

Mà x+y=2

=> x=4;y=-2 hoặc x=-2;y=4

k mk nha

Số hạng cuối là \(\frac{20}{\sqrt{y+2}}\) hay \(\frac{20}{\sqrt{y+z}}\) vậy bạn?

\(3\left(x+y+z\right)=\left(x+y\right)^2+z^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\le6\)

\(P\ge x+y+z+\frac{80}{\sqrt{x+z}+\sqrt{y+2}}=x+y+z+\frac{320}{2.2\sqrt{x+z}+2.2\sqrt{y+2}}\)

\(P\ge x+y+z+\frac{320}{4+x+z+4+y+2}=x+y+z+\frac{320}{x+y+z+10}\)

\(P\ge x+y+z+10+\frac{256}{x+y+z+10}+\frac{64}{x+y+z+10}-10\)

\(P\ge2\sqrt{\frac{256\left(x+y+z+10\right)}{x+y+z+10}}+\frac{64}{6+10}-10=26\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\)

a: Ta có: \(x^2-8x+20\)

\(=x^2-8x+16+4\)

\(=\left(x-4\right)^2+4>0\forall x\)

b: Ta có: \(-x^2+6x-19\)

\(=-\left(x^2-6x+19\right)\)

\(=-\left(x^2-6x+9+10\right)\)

\(=-\left(x-3\right)^2-10< 0\forall x\)

\(P=x^2+y^2+z^2+\dfrac{20}{x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\dfrac{20}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\dfrac{9}{x+y+z}+\dfrac{9}{x+y+z}+\dfrac{2}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}.\dfrac{9}{x+y+z}.\dfrac{9}{x+y+z}}+\dfrac{2}{3}\)

 (theo AM-GM và do \(x+y+z\le3\Rightarrow\dfrac{2}{x+y+z}\ge\dfrac{2}{3}\))

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{29}{3}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Vậy minP\(=\dfrac{29}{3}\)