Lời giải:
Bài 1:
\((x+\sqrt{x^2+2016})(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(\star)\)
\(\Leftrightarrow (x+\sqrt{x^2+2016})(x-\sqrt{x^2+2016})(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(x-\sqrt{x^2+2016})\)
\(\Leftrightarrow -2016(y+\sqrt{y^2+2016})=2016(x-\sqrt{x^2+2016})\)
\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+2016}=\sqrt{x^2+2016}-x(1)\)
Tương tự nhưng nhân \(y-\sqrt{y^2+2016}\) vào PT \((\star)\)
\(\Rightarrow x+\sqrt{x^2+2016}=\sqrt{y^2+2016}-y(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow x=-y\)
\(\Rightarrow (x+\sqrt{x^2+2016})(\sqrt{x^2+2016}-x)=2016\Leftrightarrow 2016=2016\) ( luôn đúng)
Vậy PT có nghiệm \((x,y)=(x,-x)\) với \(x\in\mathbb{R}\)
Bài 2:
Do \((3x^2-2)^2,y^4,y^2\geq 0\) với mọi \(x,y\in\mathbb{R}\) nên:
Ta có \(M=9x^4+7y^4-12x^2+4y^2+5=(3x^2-2)^2+7y^4+4y^2+1\geq 1\)
Vậy \(M_{\min}=1\Leftrightarrow (x,y)=\left(\pm\sqrt{\frac{2}{3}},0\right)\)
Nhân cả 2 vế của pt đã cho với \(\left(x-\sqrt[]{x^2+2016}\right)\)
Rồi lại nhân cả 2 vế của pt đã cho với \(\left(y-\sqrt[]{y^2+2016}\right)\)
Trừ vế cho về của 2 pt thu được ta có x = -y
Khi đó thay vào M rồi chuyển về HĐT bình phương 1 hiệu sẽ tìm được GTNN .
Xin lỗi vì không giải kĩ giúp bạn được, mong bạn thông cảm. Chúc bạn học tốt !
