Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Huyền Anh

Question

Cho hai số x, y là số thực dương thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = x2y2 ( x2 + y2 )

Neet · Accepted Answer

cm: ta có BĐT:$\left(x+y\right)^2\ge4xy$(khá quen thuộc)

$\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1$(1)

$M=x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.2xy.\left(x^2+y^2\right)$

áp dụng BĐT trên theo chiều ngược lại:(x,y dương)

$2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+2xy+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=4$

do đó $M\le\frac{1}{2}xy.4=2xy$

mà $xy\le1\Rightarrow M\le2$

dấu = xảy ra khi x=y=1Câu trả lời: cm: ta có BĐT:$\left(x+y\right)^2\ge4xy$(khá quen thuộc)

$\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=1$(1)

$M=x^2y^2\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}xy.2xy.\left(x^2+y^2\right)$

áp dụng BĐT trên theo chiều ngược lại:(x,y dương)

$2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+2xy+y^2\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=4$

do đó $M\le\frac{1}{2}xy.4=2xy$

mà $xy\le1\Rightarrow M\le2$

dấu = xảy ra khi x=y=1