Question

Cho hai số x, y là số thực dương thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = x²y² ( x² + y² )

 

Answer 1

Lời giải:

\(M=x^2y^2(x^2+y^2)=xy.xy(x^2+y^2)\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{xy}{2}.2xy(x^2+y^2)\)

Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu:

\(2xy(x^2+y^2)\leq \left(\frac{2xy+x^2+y^2}{2}\right)^2=\left(\frac{(x+y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{4}=\frac{2^4}{4}=4\)

\(xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\)

Do đó: \(M=\frac{xy}{2}.2xy(x^2+y^2)\leq \frac{1}{2}.4=2\)

Vậy \(M_{\max}=2\Leftrightarrow x=y=1\)