Question

Giả sử x, y lá các số dương thỏa mãn đẳng thức: \(x+y=\sqrt{10}\). Tìm giá trị của x, y để biểu thức: \(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\)đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Answer 1

Bị nhầm

Làm lại: Mọi lập luận theo trước

\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=\frac{\left(\sqrt{10}\right)^2}{2}=\frac{10}{2}=5\) Nhầm chỗ này!!

Kết luận

P_min=5^2=25 đẳng thức khi \(x=y=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

Answer 2

Bunyacokovski ta có

\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)

đẳng thức khi \(\frac{x^2}{y^2}=\frac{1^2}{1^2}=1\Rightarrow x^2=y^2\) (1)

Ta cũng có

\(2.\left(x^2+y^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\ge2.\left(x+y\right)^2=2.\left(\sqrt{10}\right)^2=20\)

đẳng thức khi : \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\) (2)

Từ (1) (2)

Kết luận: P_min=20 đạt tại x=y=\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)