Question

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: \(x+y\le z\). CMR: \(\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\)

Answer 1

\(BDT\Leftrightarrow\text{∑}\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)\ge\frac{21}{2}\)

Mà \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\). Vậy ta cần chứng minh

\(\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{17}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4z}{x+y}\right)^2\)

Đặt \(a=\frac{z}{x+y}\ge1\), ta chứng minh \(\frac{1}{2a^2}+8a^2\ge\frac{17}{2}\)

Dễ thấy BĐT này đúng. Vậy ta có đpcm

Answer 2

1) BĐT chứng minh $\iff \sum (\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})\ge \frac{21}{2}$
Ta có $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2$
Ta sẽ đi chứng minh $\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge \frac{17}{2}$
Ta có $\frac{y^2}{z^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge \frac{1}{2}(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}{)}^2$
$\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge \frac{1}{2}(\frac{4z}{x+y}{)}^2$
Đặt $a=\frac{z}{x+y}\ge 1$
Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2a^2}+8a^2\ge \frac{17}{2}$
Dễ thấy bđt này đúng suy ra đpcm