Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Thị Linh Chi

Cho \(x,y,z\in\left[0;2\right]\) . Tìm GTLN của biểu thức

\(P=\frac{1}{8}\left[\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(4-z\right)+\frac{8x}{y+z+2}+\frac{8y}{z+x+2}+\frac{8z}{x+y+2}\right]\)

Akai Haruma
30 tháng 12 2016 lúc 22:39

Lời giải:

Đặt \((x,y,z)=(2a,b,2c)\Rightarrow a,b,c\in\left [ 0;1 \right ]\)

Bằng cách dự đoán điểm rơi, ta sẽ đi chứng minh $P\leq 2$, tức là CM:

\(P=(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\leq 2\). Thật vậy.

AM-GM cho bộ $1-a,1-b,a+b+1$ dương, ta có:

\(3=1-a+1-b+a+b+1\geq 3\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(a+b+1)}\)

\(\Rightarrow (1-a)(1-b)(a+b+1)\leq 1\rightarrow (1-a)(1-b)(2-c)\leq \frac{2-c}{a+b+1}\)

Cần CM: \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{2}{a+b+1}\leq 2\)\(\Leftrightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{2a+2b}{a+b+1}\)

Hiển nhiên đúng vì \(b+c+1,a+c+1>\frac{a+b+1}{2}\forall a,b,c\in [0;1]\)

Vậy \(P_{max}=2\Leftrightarrow a=b=0;c\in [0;1]\)


Các câu hỏi tương tự
Neet
Xem chi tiết
Lê Chí Cường
Xem chi tiết
Hoài Đoàn
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
sakura
Xem chi tiết
sakura
Xem chi tiết
Hải Anh
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết