(Bạn tự vẽ hình)

Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền = 1/2 cạnh huyền 

=> đpcm

câu 2 : 

a) có phải là chứng minh AM ⊥ BC không

xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : 

AB = AC (2 cạnh bên của ΔABC cân tại A)

MB = MC (AM là đường trung tuyến của cạnh BC)

AM là cạnh chung

=> ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

=> \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (2 cạnh tương ứng)

mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^O\) (kề bù)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^O}{2}=90^O\)

=> AM ⊥ BC

a) Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của BC( AM là đường trung tuyến tam giác ABC)

N là trung điểm của AC(gt)

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

=> MN//AB

Mà AB⊥AC(tam giác ABC vuông tại A)
=> MN⊥AC(từ vuông góc đến song song)

b) Xét tam giác AMC có:

MN là đường cao ứng với cạnh AC(MN⊥AC)

MN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(N là trung điểm AC)

=> Tam giác AMC cân tại M

c) Ta có: Tam giác AMC cân tại M

=> AM=MC

Mà BM=MC=\(\dfrac{1}{2}BC\)( M là trung điểm BC)

=> \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow2AM=BC\)

a) Xét ΔABE và ΔCKE có 

EB=EK(gt)

\(\widehat{AEB}=\widehat{CEK}\)(hai góc đối đỉnh)

EA=EC(E là trung điểm của AC)

Do đó: ΔABE=ΔCKE(c-g-c)

b) Xét ΔAME vuông tại M và ΔCNE vuông tại N có 

EA=EC(E là trung điểm của AC)

\(\widehat{AEM}=\widehat{CEN}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAME=ΔCNE(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: AM=CN(hai cạnh tương ứng)

a) Xét ΔABM và ΔDCM có:

       BM=MC(gt)

      \(\widehat{BMA}=\widehat{CMD}\)(đđ)

      AM=DM

=> ΔABM=ΔDCM(c.g.c)

=>\(\widehat{ABM}=\widehat{MCD}\) .Mà 2 góc này ở vị trí soletrong)

=>AB//CD

b)Vì ΔABC vuông tại A(gt)

=> AM=BM=MC

 Có: AD=AM+MD

          BC=MB+MC

Mà: AM=BM(cmt); MD=MC(cmt)

=>BC=AM

Vì ΔABM=ΔDCM(cmt)

=>AB=DC

Xét ΔABC và ΔCDA có:

      AB=DC(cmt)

     AC: cạnh chung

       BC=AD(cmt)

=>ΔABC=ΔCDM(c.c.c)

c) Vì ΔABC vuông tại A(gt)

=>AM=BC/2

1) Xét tam giác ABM và tam giác DCM có:

BM=MC (vì M là trung điểm của BC)

góc BMA=góc CMD (hai góc đối đỉnh)

MA=MD (gt)

=> tam giác ABM=tam giác DCM (c.g.c)

=> góc ABM=góc DCM

Mà góc ABM và góc DCM là 2 góc so le trong nên AB//CD

2) Vì CD//AB mà AB vuông góc với AC nên CD vuông góc góc AC

=> góc ACD=90 độ

Theo câu 1): tam giác ABM=tam giác CDM

=> AB=CD

Xét tam giác ABC và tam giác CDA có:

AB=CD (cmt)

góc BAC=góc DCA=90 độ

AC:chung

=> tam giác ABC=tam giác CDA (c.g.c)

3) Theo 2) tam giác ABC=tam giác CDA

=> BC=DA

Mà AM=\(\frac{1}{2}\)AD nên AM=\(\frac{1}{2}BC\)

Từ M kẻ \(MH\perp AC\) (H thuộc AC) ta có

\(MH\perp AC\) 

\(AB\perp AC\)

=> MH//AB (cùng vuông góc với AC) (1)

BM=CM (2)

=> AH=CH (trong tam giác đường thẳng // với 1 cạnh và đi qua trung điểm của 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Trong ta giác AMC có

\(MH\perp AC;AH=HC\) => tam giác AMC cân tại M (ta giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

=> AM=CM mà CM=BM => AM=BM=CM \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)