(3n-5)(2n+1)+7(n-1)=6n²-7n-5+7n-7

                           =6n²-12

                           =3(2n-4)

=>(3n-5)(2n+1)+7(n-1) chia hết cho 3, với mọi n

(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4=5n²-17n-12-(5n²+3n-2)

 =5n²-17n-12-5n²-3n+2

=-20n-10

=5(-4n-2)

=>(n-4)(5n+3)-(n+1)(5n-2)+4 chia hết cho 5, với mọi n

trieu dang làm đúng rùi

Bài 5: 

b: Ta có: \(n+6⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{2;4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

c: Ta có: \(3n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-1;1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;3;9\right\}\)

\(b=\left(n^2-n\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(n\cdot n-n\cdot1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮3!\)

=>b chia hết cho 6

\(c=5n^2+5n\)

\(=5n\cdot n+5n\cdot1\)

\(=5n\left(n+1\right)\)

n;n+1 là hai số nguyên liên tiếp

=>\(n\left(n+1\right)⋮2\)

=>\(c=5\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮5\cdot2=10\)

2) Ta có : 2n - 2 = 2(n - 1) chia hết cho n - 1

Nên với mọi giá trị của n thì 2n - 2 đều chia hết cho n - 1

3) Ta có : 5n - 1 chia hết chi n - 2  

=> 5n - 10 + 9 chia hết chi n - 2 

=> 5(n - 2) + 9 chia hết chi n - 2 

=> n - 2 thuộc Ư(9) = {1;3;9}

Ta có bảng : 

1) Ta có : 2n + 3 chia hết cho 3n + 1 

<=> 6n + 9 chia hết cho 3n + 1

<=> 6n + 2 + 7 chia hết cho 3n + 1

=>  7 chia hết cho 3n + 1

=> 3n + 1 thuộc Ư(7) = {1;7}

Ta có bảng : 

Vậy n thuộc {0;2}

Ta có n-3=n+4-7

6)=>n-4+7 chia hết cho n+4

=>7 chia hết cho n+4

=> n+4 thuộc Ư(7)

=> n+4 thuộc {1, -1,7,-7}

=> n thuộc {-3,-5,3,-11}

5n+5n.52=650

5n(1+52)=650

5n.26=650

=>5n=650:26

=>5n=25=52

=>n=2

\(3^{5n+2}+3^{5n+1}-3^{5n}=3^{5n}\left(3^2+3-1\right)=11.3^{5n}⋮11\)

\(3^{5n+2}+3^{5n+1}-3^{5n}(n\in N^*)\\=3^{5n}\cdot3^2+3^{5n}\cdot3-3^{5n}\\=3^{5n}\cdot(3^2+3-1)\\=3^{5n}\cdot11\)

Vì \(3^{5n}\cdot11\vdots11\) 

nên biểu thức \(3^{5n+2}+3^{5n+1}-3^{5n}\vdots11\)

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k) 3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1 3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k 3, mặt khác 3(k² + 3k + 3) 3 nên S_k+1 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) 3 với mọi n ε N^{* .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁ 9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1 9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S₁ 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, nên S_k+1 9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1) 9 với mọi n ε N^*

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 1³ + 11n = 12 nên S₁ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k = k³ + 11k 6

Ta phải chứng minh S_k+1 6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) 6, do đó S_k+1 6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}