Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sách Giáo Khoa

Chứng minh rằng với \(n\in N^{\circledast}\), ta có :

a) \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3

b) \(4^n+15n-1\) chia hết cho 9

c) \(n^3+11n\) chia hết cho 6

Minh Hải
9 tháng 4 2017 lúc 20:25

a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3

Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) 3 nên Sk+1 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .

b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1

Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh Sk+1 9.

Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, nên Sk+1 9

Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6

Ta phải chứng minh Sk+1 6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) 6, do đó Sk+1 6

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .




Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Võ Yến My
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Asdfasdf Asdfasdf
Xem chi tiết
Hảo
Xem chi tiết
Hảo
Xem chi tiết
Hảo
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết