Question

Chứng minh \(A=4^{n+1}+5^{2n-1}\) chia hết cho 21

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(4\equiv 1\pmod 3\Rightarrow 4^{n+1}\equiv 1^{n+1}\equiv 1\pmod 3\)

\(5\equiv -1\pmod 3\Rightarrow 5^{2n-1}\equiv (-1)^{2n-1}\equiv -1\pmod 3\)

Do đó: \(A=4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 1+(-1)\equiv 0\pmod 3\)

\(\Leftrightarrow A\) chia hết cho $3$ (1)

Lại có:

\(5\equiv -2\pmod 7\Rightarrow 5^{2n-1}\equiv (-2)^{2n-1}\equiv -2^{2n-1}\pmod 7\)

\(\Rightarrow A=4^{n+1}+5^{2n-1}\equiv 2^{2n+2}-2^{2n-1}\pmod 7\)

\(\Leftrightarrow A\equiv 2^{2n-1}(2^3-1)\equiv 7.2^{2n-1}\equiv 0\pmod 7\)

Hay $A$ chia hết cho $7$ (2)

Từ (1), (2) kết hợp với $(3,7)=1$ suy ra \(A\vdots 21\)

Ta có đpcm.