Lời giải:

Dễ thấy \(\Delta>0\) nên theo định lý Viete phương trình luôn có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-p\\ x_1x_2=-228p\end{matrix}\right.\)

Từ đây suy ra hai nghiệm là hai nghiệm nguyên một âm một dương. Giả sử \(x_1 >0,x_2<0\), đặt \(x_1=a>0,-x_2=b>0\).

Ta có \(\left\{\begin{matrix} b-a=p\\ ab=228p\end{matrix}\right.\Rightarrow b(b-a)=bp\Leftrightarrow b^2=bp+228p\vdots p\rightarrow b\vdots p\)

\(\rightarrow bp+228p\vdots p^2\rightarrow b+228\vdots p\)

Mà \(b\vdots p\Rightarrow 228\vdots p\Rightarrow p\in \left\{2,3,19\right\}\)

Thử lại thu được $p=19$ thỏa mãn.

Để pt đã cho có nghiệm nguyên dương thì \(\Delta =p^2-4q\) là số chính phương.

Đặt \(p^2-4q=k^2\Leftrightarrow4q=\left(p-k\right)\left(p+k\right)\) với k là số tự nhiên.

Do p - k, p + k cùng tính chẵn, lẻ mà tích của chúng chẵn nên hai số này cùng chẵn.

Mặt khác p - k < p + k và q là số nguyên tố nên p - k = 2; p + k = 2q hoặc p - k = 4; p + k = q.

Nếu p - k = 4; p + k = q thì q chẵn do đó q = 2 (vô lí vì p + k > p - k).

Nếu p - k = 2; p + k = 2q thì 2p = 2q + 2 tức p = q + 1. Do đó q chẵn tức q = 2. Suy ra p = 3.

Thử lại ta thấy pt \(x^2-3x+2=0\) có nghiệm nguyên dương x = 1 và x = 2.

Vậy p = 3; q = 2.

ko bt

Xét \(\Delta=p^2+4ap\inℕ^∗,\forall a,p\inℕ^∗\)

Để phương trình nhận nghiệm hữu tỉ thì \(\sqrt{\Delta}\)Phải là hữu tỉ hay có thể khẳng định rằng \(\Delta\)phải là số chính phương.

Ở đây ta chú ý rằng nếu x là số nguyên tố thì mọi số chính phương chia hết cho x buộc phải chia hết cho x²

( Điều này hiển nhiên khỏi chứng minh)

Vì \(\Delta⋮p\)mà p là số nguyên tố \(\Rightarrow\Delta=p^2+4ap⋮p^2\Rightarrow4a⋮p\)

---> Đặt \(4a=kp,k\inℕ^∗\)---> Thế vào \(\Delta\)

\(\Rightarrow\Delta=p^2+kp^2=p^2\left(1+k\right)\)là số chính phương khi và chỉ khi (1+k) là số chính phương

---> Đặt \(1+k=n^2\Rightarrow k=n^2-1,n\inℕ^∗\)---> Thế vào a

\(\Rightarrow a=\frac{\left(n^2-1\right)p}{4}\)

Thử lại: \(\Delta=p^2+4ap=p^2+\left(n^2-1\right)p^2=p^2.n^2=\left(pn\right)^2\)---> Là số chính phương

Kết luận: bla bla bla bla...... :)))

a, Thay m=14 vào pt* có

\(x^2-20x+14+5=0\)

⇔\(x^2-20x+19=0\)

⇔(x-1)(x-19)=0

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-19=0\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=19\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=19\end{matrix}\right.\)khi và chỉ khi m=14

\(\Delta=\left(-m+3\right)^2-4\cdot\left(-5\right)=m^2-6m+9+20=m^2-6m+29=\left(m-3\right)^2+20>0\)

=>Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow m-3\in Z\Leftrightarrow m\in Z\)

Phương trình  x 2 +px -5=0 có hai nghiệm  x 1  và  x 2  nên theo hệ thức vi-ét ta có:

x 1  +  x 2  = -p/1 = -p ;  x 1 x 2  =-5/1 =-5     (1)

Hai số – x 1  và – x 2  là nghiệm của phương trình:

[x – (- x 1 )] [x – (- x 2 )] =0

⇔  x 2  – (- x 1 x) – (- x 2 x) + (- x 1 )(- x 2 ) =0

⇔  x 2  +  x 1 x +  x 2 x +  x 1 x 2  =0

⇔  x 2  + ( x 1  +  x 2  )x +  x 1 x 2  =0     (2)

Từ (1) và (2) ta có phuơng trình cần tìm là  x 2  – px -5 =0