Question

cho pt: x^2+px-228p (p là SNT). Tìm giá trị của p để phương trình có 2 nghiệm nguyên  

Answer 1

Lời giải:

Dễ thấy \(\Delta>0\) nên theo định lý Viete phương trình luôn có hai nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-p\\ x_1x_2=-228p\end{matrix}\right.\)

Từ đây suy ra hai nghiệm là hai nghiệm nguyên một âm một dương. Giả sử \(x_1 >0,x_2<0\), đặt \(x_1=a>0,-x_2=b>0\).

Ta có \(\left\{\begin{matrix} b-a=p\\ ab=228p\end{matrix}\right.\Rightarrow b(b-a)=bp\Leftrightarrow b^2=bp+228p\vdots p\rightarrow b\vdots p\)

\(\rightarrow bp+228p\vdots p^2\rightarrow b+228\vdots p\)

Mà \(b\vdots p\Rightarrow 228\vdots p\Rightarrow p\in \left\{2,3,19\right\}\)

Thử lại thu được $p=19$ thỏa mãn.