vì 2^10+1=2025 chia hết cho 25 => ....

1) 5²⁰⁰⁵ +5²⁰⁰³ = 5²⁰⁰³(5²+1)=5²⁰⁰³(25+1) = 5²⁰⁰³.26 

Mà 26 chia hết cho 13 => ...

2)a² + b² + 1 ≥ ab + a + b <=> 2a²+2b²+2 ≥ 2ab + 2a +2b  (*nhân cả hai vế với  2*)

<=> 2a²-2ab+2b² +2 -2a -2b ≥0  (*chuyển vế phải sang vế trái và đổi dấu*)

<=> (a²-2ab+b²)+(a²-2a+1)+(b²-2b+1)≥0  

<=> (a-b)²+(a-1)²+(b-1)²≥0 

=> Bất đẳng thức đúng 

=> đpcm

3) Ta có a+b+c=0

<=> a+b = -c

<=> (a+b)³=(-c)³

<=> a³+3a²b+3ab²+b³= -c³  

<=> a³+b³+c³= -3a²b -3ab²   (*chuyển vế*)

<=> a³+b³+c³= -3ab(a+b) = -3ab(-c)=3abc (*do a+b = -c*)

\(3^{2016}-1=\left(3^4-1\right)\cdot A=80\cdot A⋮10\)

Đề bài toán không có quy luật và cũng khó có  thể giải được. Nhưng nếu chuyển các dấu sao thành mũ thì bài toán chứng minh dễ dàng. 

\(A=1+2^1+2^2+...+2^{199}\)

=>\(A=\left(2^0+2^1\right)+2\left(2^0+2^1\right)+...+2^{198}\left(2^0+2^1\right)\)

=>\(A=3\left(1+2+...+2^{198}\right)\)

=>\(A⋮3\)

\(A=2^0+2^1+2^2+...+2^{199}\)

=>\(A=\left(2^0+2^1+2^2+2^3\right)+2^4\left(2^0+2^1+2^2+2^3\right)+...+2^{196}\left(2^0+2^1+2^2+2^3\right)\)

=>\(A=15\left(1+2^4+2^{196}\right)\)

=>\(A⋮15\)