a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔACN

=>AM/AN=AB/AC

=>AM*AC=AN*AB và AM/AB=AN/AC

b: Xét ΔAMN và ΔABC có

AM/AB=AN/AC

góc MAN chung

=>ΔAMN đòng dạng với ΔABC

c: ΔAMN đồng dạng với ΔABC

=>S AMN/S ABC=(AM/AB)^2=(cos60)^2=1/4

=>S ABC=4*S AMN

a)Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có 

\(\widehat{C}\) chung

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\)

=> \(\Delta ABC\) \(\sim\)\(\Delta HAC\) (g-g)

b) Xét  \(\Delta ABC\) vuông tại A có : 

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(BC^2=81+144\)

\(BC^2=225\)

BC=15 cm

 Xét  \(\Delta ABC\)  có : CD là tia phân  giác 

=> \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}\)

c) Đề bài sai nhé vì nếu \(AH^2=AH.HB\) 

                               \(\Leftrightarrow HB=HA\Rightarrow\Delta AHB\) vuông cân tại H

=> \(\widehat{ABH}=45^o\) => \(\Delta ABC\) vuông cân tại A => AB =AC  => 9=12(vô lý)

a: Xét ΔHBA vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

b: Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC

c: AE*AB=AF*AC

=>AE/AC=AF/AB

=>ΔAEF đồng dạng với ΔACB

d: góc MAC+góc AFE

=góc MCA+góc AHE

=góc BCA+góc ABC=90 độ

=>AM vuông góc EF

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔABH đồng dạng với ΔCBA

=>BA/BC=BH/BA

=>BA^2=BH*BC

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

góc HAB=góc HCA

=>ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>HA/HC=HB/HA

=>HA^2=HB*HC

c: Xét ΔCAM có

CK,AH là đường cao

CK cắt AH tại I

=>I là trực tâm

=>MI vuông góc AC

=>MI//AB

Xét ΔHAB có

M là trung điểm của HB

MI//AB

=>I là trung điểm của HA

a) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+20^2=625\)

hay BC=25(cm)

Ta có: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(cmt)

nên \(\dfrac{AH}{CA}=\dfrac{BA}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AH}{20}=\dfrac{15}{25}\)

hay AH=12(cm)

Vậy: AH=12cm

b) Ta có: tia AD nằm giữa hai tia AB,AC(gt)

nên \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=\widehat{BAC}\)

hay \(\widehat{BAD}+\widehat{CAD}=90^0\)(1)

Ta có: ΔADH vuông tại H(gt)

nên \(\widehat{HDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)

hay \(\widehat{BDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(2)

Ta có: AD là tia phân giác của \(\widehat{HAC}\)(gt)

nên \(\widehat{CAD}=\widehat{HAD}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)

Xét ΔBDA có \(\widehat{BAD}=\widehat{BDA}\)(cmt)

nên ΔBDA cân tại B(Định lí đảo của tam giác cân)