f(x)=ax^2+bx+c
=> f(1)= a + b + c
Mà f(1)= 3 nên a + b + c = 3 /1/
f(3) = 9a + 3b + c
Mà f(3)=5 => 9a + 3b + c = 5 /2/
f(5)= 25a + 5b + c
Mà f(5)=7 nên 25a + 5b + c = 7 /3/
Lấy /2/ - /1/, ta được:
8a + 2b = 2
<=> 2(4a + b) = 2
<=> 4a + b = 1 /4/
Lấy /3/ - /1/, ta được:
24a + 4 b = 4
<=> 4(6a + b) = 4
<=> 6a + b = 1 /5/
Lấy /5/ - /4/, ta được:
2a = 0
<=> a = 0
Thay a = 0 vào /4/, ta được:
4.0 + b = 1
<=> b = 1
Thay a = 0, b = 1 vào /1/, ta được:
0 + 1 + c = 3
<=> c = 2
=> a = 0, b = 1, c = 2
Vậy f(x) = 0.x^2 + x.1 + 2 = x + 2

Tham khảo :

f(1)=a+b+c

g(1)=(2021-2022+2)^2021*(2022-2021-2)^2022=1

=>tổng các hệ số của g(x) là 1

\(f\left(4\right)=a.4^2+b.4+c=16a+4b+c\)

\(f\left(4\right)=a.\left(-4\right)^2+b.\left(-4\right)+c=16a-4b+c\)

\(f\left(4\right)=f\left(-4\right)\Rightarrow16a+4b+c=16a-4b+c\\ \Rightarrow16a+4b+c-16a+4b-c=0\\ \Rightarrow8b=0\\ \Rightarrow b=0\)

Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c=ax^2+0x+c=ax^2+c\) (1)

\(f\left(-x\right)=a\left(-x\right)^2+b\left(-x\right)+c=ax^2+0\left(-x\right)+c=ax^2+c\) (2)

Từ (1), (2)\(\Rightarrow f\left(x\right)=f\left(-x\right)\) 

Ta có:

f(x+3) = a(x+3)²+ b(x+3) +c=ax²+ (6a+b) x+ 9a+ 3b+c

f(x+2) = a(x+2)²+ b(x+2) +c=ax²+ (4a+b) x+ 4a+ 2b+c

f (x+1) = a(x+1)²+ b(x+1) +c=ax²+ (2a+b) x+ 2a+ 2b+c

Suy ra: (x+ 3) -3f( x+ 2) +3f( x+ 1)= ax²+ bx+ c

Chọn D.

a) \(a:b:c=\left(-1\right):3:\left(-4\right)\Rightarrow-a=\dfrac{b}{3}=-\dfrac{c}{4}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-3a\\c=4a\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{2}f\left(2\right)=-2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}.\left(4a+2b+c\right)=-2\)

\(\Rightarrow2a+b+\dfrac{c}{2}=-2\)

\(\Rightarrow2a-3a+\dfrac{4a}{2}=-2\)

\(\Rightarrow a=-2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-3a=-3.\left(-2\right)=6\\c=4a=4.\left(-2\right)=-8\end{matrix}\right.\).

b) \(f\left(x\right)=h\left(x\right)+11x^2+6x+2\)

\(\Rightarrow-2x^2+6x-8=h\left(x\right)+11x^2+6x+2\)

\(\Rightarrow h\left(x\right)=-13x^2-10\)

\(\Rightarrow h\left(x\right)=-\left(13x^2+10\right)\le-\left(13+10\right)=-23\)

\(h\left(x\right)=-23\Leftrightarrow x=0\)

-Vậy \(h\left(x\right)_{max}=-23\)