Help me..
Cho a + b = 1
Tìm GTNN : 2/ab + 3/a2+b2
cho a,b,c là các số âm không thỏa mãn a2+b2+c2=1
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P=a+b+c
Ta có:
P = a + b + c ≤ a + b + a + b = 2(a + b) ≤ 2(-1) = -2
Ta cũng có:
P = a + b + c ≤ a + b + c - 2abc ≥ a + b + c - 2(-1)(-1)(-1) = -3
Vậy GTNN của P = -3 và GTLN của P = -2.
Cho ab + bc + ac = 9 , a≥1 , b≥1 , c≥1
tìm min và max của bt P = a2+b2+c2
cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c=2019. Tìm GTNN : a3/a2+b2+ab + b3/b2+c2+bc + c3/c2+a2+ca
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
Help me!!!!!!!!!!!
Cho a+b=2.Chứng minh: a2+b2 ≥ 2
Với mọi số thực:
`(a-b)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>a^2+b^2>=2ab`
`<=>2(a^2+b^2)>=a^2+2ab+b^2`
`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=4`
`<=>a^2+b^2>=2(đpcm)`
Dấu "=" `<=>a=b=1`
a, Chứng minh bất đẳng thức a2+b2+2 ≥ 2(a+b)
b,Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x^2+y^2 = 1. Tìm GTLN và GTNN của x+y
c, Cho a,b > 0 và a+b = 1. Tìm GTNN của S=\(\dfrac{1}{ab}\)+1/a2+b2
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Cho a,b,c>0 và a2+b2+c2=1
Tìm Min \(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}\)
áp dụng BDT AM-GM
\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
\(=>1\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=>1\ge27\left(abc\right)^2\)\(=>27\left(abc\right)^2\le1=>3\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{9}=>\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{27}=>abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(=>\dfrac{8}{9abc}\ge\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)
\(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}=a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\)
\(=>a+b+c+\dfrac{1}{9abc}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
\(=>S\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
dấu"=" xyar ra<=>a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Các bn mà cop thì nhớ giải thích giúp mik đoạn \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{abc}\) với
Cho abc=2 và a3>72 .
CMR a2/3 + b2 + c2 > ab + bc + ac
Help me!!!!
Cho abc=2 và a3>72 .
CMR a2/3 + b2 + c2 > ab + bc + ac
Help me!!!!
Cho a, b, c thuộc R và a2 + b2 + c2 <= 2. Tìm GTNN P = 2021ca - ab - bc
Ta có \(2P=4042ca-2ab-2bc=\left(\sqrt{2021}a+\sqrt{2021}c-\dfrac{1}{\sqrt{2021}}b\right)^2-\left(2021a^2+2021c^2+\dfrac{1}{2021}b^2\right)\ge-\left(2021a^2+2021c^2+\dfrac{1}{2021}b^2\right)\).
Lại có \(2021a^2+2021c^2+\dfrac{1}{2021}b^2\le2021\left(a^2+c^2+b^2\right)=4042\).
Do đó \(2P\ge-4042\Rightarrow P\ge-2021\).
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b = 0; \(a=-c=\pm1\).
a, cho a=+b+c =1; a,b,c dương
tìm GTNN: A= a/b2+1 + b/c2+1 + c/a2+1
b, cho a,b,c dương có tổng =2
tìm GTNN; B= a/ab+2c + b/bc+2a + c/ca+2b
c, cho a,b,c dương và a+b+c<1
tìm GTNN: C= 1/a2+2bc + 1/ b2+2ac + 1/c2+2ab