Cho pt bậc hai \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\)\(0\)
Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 thoả mãn \(\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\)
Cho pt ẩn x : x2 - 5x + m - 2 = 0 (1)
a) Giải pt (1) khi m = -4
b) Tìm m để pt có 2 nghiệm dương phân biệt x1 , x2 thoả mãn hệ thức:
\(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=3\)
a: Khi m = -4 thì:
\(x^2-5x+\left(-4\right)-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x-6=0\)
\(\Delta=\left(-5\right)^2-5\cdot1\cdot\left(-6\right)=49\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7>0\)
Pt có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{5+7}{2}=6;x_2=\dfrac{5-7}{2}=-1\)
b: \(\Delta=\left(-5\right)^2-4\left(m-2\right)=25-4m+8=33-4m\)
Theo viet:
\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5\)
\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\)
Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}33-4m>0\\5>0\left(TM\right)\\m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{33}{4}\\x>2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2< m< \dfrac{33}{4}\)
Vậy \(2< m< \dfrac{33}{4}\) thì pt có 2 nghiệm dương phân biệt.
Theo đầu bài: \(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{x_1x_2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1+2\sqrt{x_1x_2}+x_2=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow5+2\sqrt{x_1x_2}=\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}\left(m-2\right)-2\sqrt{m-2}-5=0\)
Đặt \(\sqrt{m-2}=t\Rightarrow m-2=t^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2t-5=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{4}t^2-2+\left(-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(9t+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-2=0\\9t+10=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\left(TM\right)\\t=-\dfrac{10}{9}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)
Trả ẩn:
\(\sqrt{m-2}=2\)
\(\Rightarrow m-2=4\)
\(\Rightarrow m=6\)
Vậy m = 6 thì x1 , x2 thoả mãn hệ thức \(2\left(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Cho PT x^3 + x -m -1 = 0 có hai nhiệm x1,x2 thỏa mãn \(\frac{x_1^3-\left(m+2\right)x_1}{x_1^2+1}+\frac{x_2^3-\left(m+2\right)x_2}{x_2^2+1}=-1\)tìm các giá trị của m
b Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+m+3=0\) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn \(x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=1\)
c Tìm m để phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2mx+m+2=0\) có hai nghiệm x1,x2 phân biệt thỏa mãn \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}+6=0\)
d Tìm m để phương trình \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\) (x1+x2)
b) phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-m^2-3m+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le1\)
Ta có: \(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)
Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[-2\left(m-1\right)^2\right]-2\left(m+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-10m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{5+\sqrt{37}}{4}\left(ktm\right)\\m_2=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{5-\sqrt{37}}{4}\)
Cho pt: \(x^2-x+m\)=0 (1)
Tìm m để pt(1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
\(\left(x^2_1+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)\)= \(m^2-m-1\)
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1^2+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left[x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_2+m\right]\left[x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_1+m\right]=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-1=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2>\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Cho PT: \(x^2+2\left(m+1\right)x-8=0\left(1\right)\).
Tìm \(m\) để PT có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) thỏa mãn: \(x_1^2=x_2\)
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2+32>0\left(\text{đúng }\forall m\right)\)
Theo Vi-ét: \(\begin{cases} x_1+x_2=-2(m+1)=-2m-2\\ x_1x_2=-8 \end{cases}\)
Vì $x_1$ là nghiệm của PT nên \(x_1^2=-2(m+1)x_1+8\)
Ta có \(x_1^2=x_2\)
\(\Leftrightarrow-2\left(m+1\right)x_1+8=x_2\\ \Leftrightarrow x_2+2mx_1+2x_1-8=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2mx_1+x_1-8=0\\ \Leftrightarrow x_1\left(2m+1\right)-2m-10=0\\ \Leftrightarrow x_1=\dfrac{2m+10}{2m+1}\)
Mà \(x_1+x_2=-2m-2\Leftrightarrow x_2=-2m-2-\dfrac{2m+10}{2m+1}=\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}\)
Ta có \(x_1x_2=-8\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+10}{2m+1}\cdot\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}=-8\\ \Leftrightarrow\left(2m+10\right)\left(m^2+2m+3\right)=2\left(2m+1\right)^2\\ \Leftrightarrow m^3+3m^2+9m+14=0\\ \Leftrightarrow m^3+2m^2+m^2+2m+7m+14=0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m^2+m+7\right)=0\\ \Rightarrow m=-2\)
Vậy $m=-2$
Cho PT \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+2m=0\) ( m là tham số). Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) ( với \(x_1< x_2\)) thảo mãn \(\left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\)
|x1|=3|x2|
=>|2m+2-x2|=|3x2|
=>4x2=2m+2 hoặc -2x2=2m+2
=>x2=1/2m+1/2 hoặc x2=-m-1
Th1: x2=1/2m+1/2
=>x1=2m+2-1/2m-1/2=3/2m+3/2
x1*x2=m^2+2m
=>1/2(m+1)*3/2(m+1)=m^2+2m
=>3/4m^2+3/2m+3/4-m^2-2m=0
=>m=1 hoặc m=-3
TH2: x2=-m-1 và x1=2m+2+m+1=3m+3
x1x2=m^2+2m
=>-3m^2-6m-3-m^2-2m=0
=>m=-1/2; m=-3/2
Tìm m để phương trình: \(3x^2+4\left(m-1\right)x+m^2-4m+1=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)
Để pt có 2 nghiệm pb khác 0:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3\left(m^2-4m+1\right)>0\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+1>0\\m^2-4m+1\ne0\end{matrix}\right.\) (1)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}=0\\\dfrac{m^2-4m+1}{3}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\\m=5\end{matrix}\right.\)
Thế vào hệ điều kiện (1) kiểm tra chỉ có \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\) thỏa mãn
Cho pt: \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\). Pt này luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) \(\forall m\). Tìm m để 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn:
\(x_1^2=9x_2+10\) (với \(x_1\)≥ 4)
\(\Delta'=m^2+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1+\sqrt{m^2+1}\\x_2=m+1-\sqrt{m^2+1}\end{matrix}\right.\)
(Do \(m+1-\sqrt{m^2+1}< \sqrt{m^2+1}+1-\sqrt{m^2+1}< 4\) nên nó ko thể là nghiệm \(x_1\))
Từ điều kiện \(x_1\ge4\Rightarrow m+1+\sqrt{m^2+1}\ge4\Rightarrow\sqrt{m^2+1}\ge3-m\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m^2+1\ge m^2-6m+9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge\dfrac{4}{3}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2=9x_2+10\Leftrightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=9x_2+10\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9x_2+10\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9\left(2\left(m+1\right)-x_1\right)+10\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+11\right)x_1=20m+28\Rightarrow x_1=\dfrac{20m+28}{2m+11}\)
\(\Rightarrow x_2=2\left(m+1\right)-x_1=\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\)
Thế vào \(x_1x_2=2m\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{20m+28}{2m+11}\right)\left(\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\right)=2m\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-4\right)\left(12m^2+40m+21\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\) (do \(12m^2+40m+21>0;\forall m\ge\dfrac{4}{3}\))
Cho pt: \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\). pt trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) với ∀m. Khi đó tìm m để 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn: \(x_1^2=9x_2+10\) (với \(x_1\)≥ 4)
Cái này phân tích đề ra là lm được bạn nhé