Ta có: (ab + bc + ca)² = a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a + b + c)

= a²b² + b²c² + c²a² vì a + b + c = 0

Mặt khác; từ (a+b+c)² = 0; có:

a² + b² + c² = -2(ab+bc+ca)

=> (a² + b² + c²)² = 4(ab + bc + ca)²

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a²b² + b²c² + c²a²) = 4[a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a+b+c)]

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a²b² + b²c² + c²a²) (1)

Mặt khác: (ab+bc+ca)² = a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a+b+c)

= a²b² + b²c² + c²a² (2)

Từ (1) và (2)

=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(ab + bc + ca)²

Có \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}\le\dfrac{1}{4-\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}=\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\),  \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}\)

Đặt \(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;c^2+a^2\right)=\left(x;y;z\right)\)

Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z,y,z>0\end{matrix}\right.\) (1)

Đặt VT của bđt là A

Có  \(A=\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2x}}+\dfrac{2}{8-\sqrt{2y}}+\dfrac{2}{8-\sqrt{2z}}\)

Ta cm bđt phụ: \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2x}}\le\dfrac{1}{36}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{3}\)

Thật vậy bđt trên tương đương \(\dfrac{6}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{8-\sqrt{2x}}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{1}{36}\left(x-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}{36}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left[\dfrac{\sqrt{2}.12}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\left(8-\sqrt{2x}\right)}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)^2.\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\sqrt{2}\right)}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}\le0\)  (*)

Từ (1) ta có \(x\in\left(0;6\right)\) nên bđt phụ trên luôn đúng
Tương tự ta cũng có \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2y}}\le\dfrac{1}{36}\left(y-2\right)+\dfrac{1}{3}\) , \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2z}}\le\dfrac{1}{36}\left(z-2\right)+\dfrac{1}{3}\)
Từ đó => \(A\le\dfrac{1}{36}\left(x+y+z-6\right)+1=\dfrac{1}{36}\left(6-6\right)+1=1\) (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x=y=z=2 <=> a=b=c=1

Bài 2: 

a+b+c+d=0

nên b+c=-(a+d)

\(a^3+b^3+c^3+d^3\)

\(=\left(a+d\right)^3-3ad\left(a+d\right)+\left(b+c\right)^3-3bc\left(b+c\right)\)

\(=-\left(b+c\right)^3+3ad\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^3-3bc\left(b+c\right)\)

\(=3ad\left(b+c\right)-3bc\left(b+c\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(3ad-3bc\right)\)

\(=3\left(b+c\right)\left(ad-bc\right)\)

a+b+c=0

=> ( a+ b+c ) ^2 =0 ( rồi phân tích chuyển dấu )

=> a^2+ b^2+ c^2 = - ( 2ab+ 2ac+ 2bc) 

=> ( a ^2 + b^2 + c^2 ) ^2 = ( 2ab+ 2ac+ 2bc) ^2

. Rồi bạn tách tiếp nghen, bạn có làm được tiếp chứ? Có gì cứ hỏi tớ tiếp nhé

Câu hỏi của Khoa Nguyễn Đăng - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Lời giải:
$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$=[(a+b+c)-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$=[-2(ab+bc+ac)]^2-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$=4(ab+bc+ac)^2-2[(ab+bc+ac)^2-2abc(a+b+c)]$

$=4(ab+bc+ac)^2-2[(ab+bc+ac)^2]=2(ab+bc+ac)^2$
Ta có đpcm.