§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
KigKog

Hmm giúp xem nào .-.

Cho `a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3`

`CM:1/(4-sqrt{ab})+1/(4-\sqrt{bc})+1/(4-\sqrt{ca})<=1`

Lê Thị Thục Hiền
17 tháng 5 2021 lúc 23:10

Có \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}\le\dfrac{1}{4-\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}=\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\),  \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}\)

Đặt \(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;c^2+a^2\right)=\left(x;y;z\right)\)

Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=6\\z,y,z>0\end{matrix}\right.\) (1)

Đặt VT của bđt là A

Có  \(A=\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\dfrac{2}{8-\sqrt{2x}}+\dfrac{2}{8-\sqrt{2y}}+\dfrac{2}{8-\sqrt{2z}}\)

Ta cm bđt phụ: \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2x}}\le\dfrac{1}{36}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{3}\)

Thật vậy bđt trên tương đương \(\dfrac{6}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{8-\sqrt{2x}}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{1}{36}\left(x-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)}{3\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)}{36}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left[\dfrac{\sqrt{2}.12}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{2}\right)\left(8-\sqrt{2x}\right)}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)^2.\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\sqrt{2}\right)}{36\left(8-\sqrt{2x}\right)}\le0\)  (*)

Từ (1) ta có \(x\in\left(0;6\right)\) nên bđt phụ trên luôn đúng
Tương tự ta cũng có \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2y}}\le\dfrac{1}{36}\left(y-2\right)+\dfrac{1}{3}\) , \(\dfrac{2}{8-\sqrt{2z}}\le\dfrac{1}{36}\left(z-2\right)+\dfrac{1}{3}\)
Từ đó => \(A\le\dfrac{1}{36}\left(x+y+z-6\right)+1=\dfrac{1}{36}\left(6-6\right)+1=1\) (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x=y=z=2 <=> a=b=c=1

 



 

 


Các câu hỏi tương tự
Lưu Thị Thảo Ly
Xem chi tiết
Linh Châu
Xem chi tiết
Hoàng Đức Thắng
Xem chi tiết
Đức Huy ABC
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Phạm Kim Oanh
Xem chi tiết
Bùi Lê Trung Kiên
Xem chi tiết
Hoàng
Xem chi tiết
đấng ys
Xem chi tiết