OB=OC

MB=MC

=>OM là trung trực của BC

=>OM vuông góc BC tại I

góc CHO+góc CIO=180 độ

=>CHOI nội tiếp

a) Do M là điểm chính giữa của cung BC nên \(\widehat{OIC}=90^o\).

Mà \(\widehat{OHC}=90^o\) nên tứ giác HCIO nội tiếp đường tròn đường kính OC.

b) Do M là điểm chính giữa của cung BC nên hai cung MB, MC bằng nhau.

Từ đó \(\widehat{MAC}=\widehat{MAB}\) nên AM là tia phân giác của góc BAC.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có \(\dfrac{KC}{KB}=\dfrac{AC}{AB}=sin30^o=\dfrac{1}{2}\Rightarrow KB=2KC\).

1. vì M là điểm nằm chính giữa cung AC⇒AH=HC

-->OM đi qua trung điểm H của dây cung AC

--->OM⊥AC hay ∠MHC=90

có ∠AMB=90 (góc nội tiếp) nên BM//CK

⇒∠AMB=∠MKC=90 có ∠MKC+∠MHC=90+90=180

⇒tứ giác CKMH nội tiếp

2.ΔABC có ∠CBA+∠CAB=90

ΔAHO có ∠HOA+∠CAB=90

→∠CBA=∠HOA⇒CB//OH hay CB//MD

mà CD//MB ⇒tứ giác CDBM là hình bình hành

⇒CD=MB và DM=CB

a) Vì M là điểm chính giữa cung AC \(\Rightarrow OM\bot AC\Rightarrow\angle MHC=90\)

Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\Rightarrow AM\bot MB\) 

mà \(MB\parallel CD\Rightarrow AM\bot CD\Rightarrow \angle MKC=90\)

\(\Rightarrow CKMH\) nội tiếp

b) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow CB\bot AC\)

mà \(DM\bot AC\Rightarrow\)\(CB\parallel DM\) mà \(CD\parallel BM\Rightarrow DMBC\) là hình bình hành

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD=MB\\BC=DM\end{matrix}\right.\)

c) DA là tiếp tuyến mà \(AC\bot DO\Rightarrow\) DC là tiếp tuyến

\(\Rightarrow DC\bot CO\) mà \(DC\parallel BM\Rightarrow BM\bot CO\Rightarrow\) C là điểm chính giữa MB

\(\Rightarrow\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{MA}\Rightarrow\stackrel\frown{CB}=\stackrel\frown{CM}=\stackrel\frown{AM}=60\)

\(\Rightarrow\) để AD là tiếp tuyến thì C nằm trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{BOC}=60\)

d) Từ câu c \(\Rightarrow\Delta BOC\) đều \(\Rightarrow BC=R\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{3}R\)

\(\Delta MAO\) đều \(\)có \(AH\bot MO\Rightarrow HM=HO=\dfrac{1}{2}R\)

Ta có: \(\Delta DAO\) vuông tại A có \(AM=MO\Rightarrow AM=MO=MD=R\)

\(\Rightarrow DH=\dfrac{3}{2}R\)

Ta có: diện tích phần tam giác ACD ngoài đường tròn là:

\(=S_{ACD}-\left(S_{qAOC}-S_{AOC}\right)=\dfrac{1}{2}DH.AC-\left(\dfrac{\pi R^2.120}{360}-\dfrac{1}{2}.OH.AC\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}R.\sqrt{3}R-\left(\dfrac{1}{3}\pi R^2-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}R.\sqrt{3}R\right)\)

\(=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2-\left(\dfrac{1}{3}\pi-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)R^2=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}-\dfrac{1}{3}\pi+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)R^2\)

ý tưởng là vậy chứ tính toán thì bạn kiểm tra lại nghe (mình không chắc mình tính đúng cho lắm)

cái này cũng đen luôn

có giải hong dãy bạn

Do tứ giác BCEF nội tiếp nên ME . MF = MB . MC

Lại có tứ giác BCKA nội tiếp nên MC . MB = MK . MA

Suy ra MK . MA = ME . MF nên tứ giác AKEF nội tiếp.

Mà tứ giác AEHF nội tiếp nên 5 điểm A, E, F, H, K đồng viên.

Suy ra \(\widehat{HKA}=\widehat{HEA}=90^o\Rightarrow HK\perp AM\).