Xét hàm số f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3)f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3) xác định và liên tục trên RR

⇒f(x)⇒f(x) xác định và liên tục trên [−2;3][−2;3].

Ta có: {f(−2)=−64mf(3)=16m⇒f(−2).f(3)=−1024m2{f(−2)=−64mf(3)=16m⇒f(−2).f(3)=−1024m2.

+ Với m=0⇒f(−2)=f(3)=0m=0⇒f(−2)=f(3)=0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có nghiệm x=−2,x=−2, x=3.x=3.

+ Với m≠0⇒f(−2).f(3)<0m≠0⇒f(−2).f(3)<0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;3)(−2;3).

Vậy phương trình f(x)=0f(x)=0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.

Xét hàm số \(f\left(x\right)=m\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)^3+\left(x+2\right)\left(x-3\right)\)
f(x)=m(x+1)2(x−2)3+(x+2)(x−3), \(D=ℝ\)
R⇒f(x)⇒f(x) xác định và liên tục trên [−2;3][−2;3].

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)=-64m\\f\left(3\right)=16m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(3\right)=-1024m^2\)

+ Với m=0⇒f(−2)=f(3)=0m=0⇒f(−2)=f(3)=0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có nghiệm x=−2,x=−2, x=3.x=3.

+ Với m≠0⇒f(−2).f(3)<0m≠0⇒f(−2).f(3)<0

⇒⇒ Phương trình f(x)=0f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2;3)(−2;3).

Vậy phương trình f(x)=0f(x)=0 luôn có nghiệm với mọi tham số m.

Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  \(\left(-1;0\right)\) với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

b.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-4< 0\) 

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)

 \(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Dạ em cảm ơn thầy nhiều ạ!

Em thử ạ!Em không chắc đâu.Hơi quá sức em rồi

Ta có: \(VT=\Sigma\frac{x^3}{z+y+yz+1}=\Sigma\frac{x^3}{z+y+\frac{1}{x}+1}\)

\(=\Sigma\frac{x^4}{xz+xy+1+x}=\frac{x^4}{xy+xz+x+1}+\frac{y^4}{yz+xy+y+1}+\frac{z^4}{zx+yz+z+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,suy ra:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(xy+yz+zx\right)+3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\right)^2}{\left(x+y+z\right)+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2+3}\) (áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3};ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Đặt \(t=x+y+z\ge3\sqrt{xyz}=3\) Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Ta cần chứng minh: \(\frac{\frac{t^4}{9}}{\frac{2}{3}t^2+t+3}\ge\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{t^4}{9\left(\frac{2}{3}t^2+t+3\right)}=\frac{t^4}{6t^2+9t+27}\ge\frac{3}{4}\)(\(t\ge3\))

Thật vậy,BĐT tương đương với: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow3t^4-18t^2-27t+t^4-81\ge0\)

Ta có: \(VT\ge3t^4-18t^2-27t+3^4-81\)

\(=3t^4-18t^2-27t\).Cần chứng minh\(3t^4-18t^2-27t\ge0\Leftrightarrow3t^4\ge18t^2+27t\)

Thật vậy,chia hai vế cho \(t\ge3\),ta cần chứng minh \(3t^3\ge18t+27\Leftrightarrow3t^3-18t-27\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(t^3-27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+27\right)-18\left(t-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(3t^2+9t+9\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng,do \(t\ge3\) và \(3t^2+9t+9=3\left(t+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\ge\frac{9}{4}>0\)

Dấu "=" xảy ra khi t = 3 tức là \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\xyz=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Chứng minh hoàn tất

Em sửa chút cho bài làm ngắn gọn hơn.

Khúc chứng minh: \(4t^4\ge18t^2+27t+81\)

\(\Leftrightarrow4t^4-18t^2-27t-81\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(4t^3+12t^2+18t+27\right)\ge0\)

BĐT hiển nhiên đúng do \(t\ge3\Rightarrow\hept{\begin{cases}t-3\ge0\\4t^3+12t^2+18t+27>0\end{cases}}\)

Còn khúc sau y chang :P Lúc làm rối quá nên không nghĩ ra ạ!

Áp dụng BĐT cosi ta có

\(\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3}{4}x\)

\(\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3}{4}y\)

\(\frac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3}{4}z\)

Khi đó 

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\)

Mà \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)

=> \(VT\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1

Đặt x²+1=a(a\(\ge1\))

=> A= a⁴+9a³+21a²-a-30

        =(a-1)(a³+10a²+31a+30)

Do a\(\ge1\)=>\(\hept{\begin{cases}a-1\ge0\\a^3+10a^2+31a+30>0\end{cases}}\)

=> A\(\ge0\)(ĐPCM)

Câu 8 :

\(N=\left(\frac{x-1}{\left(x-1\right)^2+x}-\frac{2}{x-2}\right):\left(\frac{\left(x-1\right)^4+2}{\left(x-1\right)^3-1}-x+1\right)\)

Đặt \(x-1=a\)

\(N=\left(\frac{a}{a^2+x}-\frac{2}{a-1}\right):\left(\frac{a^4+2}{a^3-1}-a\right)\)

\(N=\frac{a\left(a-1\right)-2\left(a^2+x\right)}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a\left(a^3-1\right)}{a^3-1}\)

\(N=\frac{a^2-a-2a^2-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a^4+a}{a^3-1}\)

\(N=\frac{-a^2-a-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}\cdot\frac{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}{2+a}\)

\(N=\frac{-\left(a^2+a+2x\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2+x\right)\left(2+a\right)}\)

\(N=\frac{-\left[\left(x-1\right)^2+x-1+2x\right]\left[\left(x-1\right)^2+x-1+1\right]}{\left[\left(x-1\right)^2+x\right]\left(2+x-1\right)}\)

\(N=\frac{-\left(x^2+x\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(N=\frac{-x\left(x+1\right)}{x+1}\)

\(N=-x\)( đpcm )

Câu 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\left(\frac{x^2+16}{x}+8\right)+9\)

Bài làm :

\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\frac{x^2+8x+16}{x}+9\)

\(P=\frac{x^2\left(x+4\right)^2}{x\left(x+4\right)}+9\)

\(P=x\left(x+4\right)+9\)

\(P=x^2+4x+9\)

\(P=\left(x+2\right)^2+5\ge5\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-2\)

Bài 10 : Tìm GTLN

\(Q=\left(\frac{x^3+8}{x^3-8}\cdot\frac{4x^2+8x+16}{x^2-4}-\frac{4x}{x-2}\right):\frac{-16}{x^4-6x^3+12x^2-8x}\)

\(Q=\left[\frac{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\cdot\frac{4\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{4x}{x-2}\right]:\frac{-16}{x\left(x^3-6x^2+12x-8\right)}\)

\(Q=\left(\frac{4\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)^2}-\frac{4x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}\right):\frac{-16}{x\left[x^2\left(x-2\right)-4x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)\right]}\)

\(Q=\frac{4x^2-8x+16-4x^2+8x}{\left(x-2\right)^2}:\frac{-16}{x\left(x-2\right)\left(x^2-4x+4\right)}\)

\(Q=\frac{16}{\left(x-2\right)^2}\cdot\frac{-x\left(x-2\right)\left(x-2\right)^2}{16}\)

\(Q=-x\left(x-2\right)\)

\(Q=-x^2+2x\)

\(Q=-x^2+2x-1+1\)

\(Q=1-\left(x-1\right)^2\le1\forall x\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy....

2.

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2a\right)=2a\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)

Hàm liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow2a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)

3. Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-2\)

Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left(1;2\right)\)

\(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=12\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)=-24< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)

Hay pt đã cho luôn có nghiệm thuộc (1;2)