\(5x^2+2\left(3y+1\right)x+2y^2+2y-73=0\) (1)

\(\Delta'=\left(3y+1\right)^2-5\left(2y^2+2y-73\right)=-y^2-4y+366\)

\(\Delta'\) là số chính phương \(\Rightarrow-y^2-4y+366=k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)^2+k^2=370=3^2+19^2=9^2+17^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=3\\y+2=19\\y+2=9\\y+2=17\end{matrix}\right.\) thế vào (1) tìm x nguyên dương

Ta có  \(\frac{x+2}{13}+\frac{2x+45}{15}=\frac{3x+8}{37}+\frac{4x+69}{9}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+2}{13}+1\right)+\left(\frac{2x+45}{15}-1\right)=\left(\frac{3x+8}{37}+1\right)+\left(\frac{4x+69}{9}-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+15}{13}+\frac{2\left(x+15\right)}{15}=\frac{3\left(x+15\right)}{37}+\frac{4\left(x+15\right)}{9}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+15\right)\left(\frac{1}{13}+\frac{2}{15}-\frac{3}{37}-\frac{4}{9}\right)=0\Leftrightarrow x+15=0\)vì \(\left(\frac{1}{13}+\frac{2}{15}-\frac{3}{37}-\frac{4}{9}\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow x=-15\)

Vậy \(x=-15\)

giải pt: (x-20)+(x-19)+......+100+101=101

Δ=(m+1)^2-4(2m-8)

=m^2+2m+1-8m+32

=m^2-6m+33

=(m-3)^2+24>=24

=>Phương trình luôn có hai nghiệm pb

x1^2+x2^2+(x1-2)(x2-2)=11

=>(x1+x2)^2-2x1x2+x1x2-2(x1+x2)+4=11

=>(m+1)^2-(2m-8)-2(m+1)+4=11

=>m^2+2m+1-2m+8-2m-2-7=0

=>m^2-2m-8=0

=>(m-4)(m+2)=0

=>m=4 hoặc m=-2

Thế vào phương trình 2x +my = 8 ta được. 2(m-2y) +my = 8 => -4y +my = 8-2m => (m-4)y = 8-2m.

Nếu m = 4 => 0.y = 0 luôn đúng => hệ có vô số nghiệm.

Nếu m khác 4 => y = (8-2m)/ (m-4 ) => x = m -2(8-2m)/ (m-4) = (m² -16)/ (m-4). Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất.

Vậy hệ đã cho có nghiệm với mọim, và khi m khác 4 thì hệ ...

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x-my=m+3\left(1\right)\\mx-4y=\left(-2\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1), suy ra \(my=\left(m+3\right)+x\)(3)

Thay (3) vào 2. Ta có: \(mx-4\left[\left(m+3\right)+x\right]=-2\)

\(\Leftrightarrow mx-\left(4m-12+x\right)=-2\)

\(\Leftrightarrow6mx=-11\)

\(\Leftrightarrow mx=\left(-11\right):6=-\frac{11}{6}\)(4)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất  (x;y)  với x +y > 0  khi PT (4) có nghiệm duy nhất

\(\Leftrightarrow m\ne0\)

2) Ta có: 

xy2 + 2xy -243y +x = 0

 x( y2 + 2y + 1) -243y = 0

 x(y+1)2 = 243y

 x = 243y(y+1)2

Vì x thuộc Z nên 243y(y+1)2 thuộc Z, mà Ư CLN(y,y+1) = 1  243 chia hết (y+1)2 

 (y+1)2 thuộc {9; 81}

 y+1 thuộc {3; -3; 9; -9}

 y thuộc {2; -4; 8; -10}

 x thuộc {54; -108; 24; -30}

Vậy (x; y) = (54; 2) (24; 8) (-108;-4) (-30;-10)

Mik nghĩ cái này là của lớp 8 ;-; 

Lâu k làm mấy dạng này nên k chắc :(

1.\(\left(x-1\right)^2+5y^2=6\Leftrightarrow5y^2=6-\left(x-1\right)^2\le6\)  \(\Leftrightarrow y^2\le\dfrac{6}{5}\)

Mà y \(\in Z\Rightarrow y\in\left\{0;1\right\}\)  . 

y = 0 \(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=6\Rightarrow L\)

y = 1 \(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\)

Vậy ... 

2. Giả sử số cần tìm là a ( a > 0 )

Ta có : a - 4 \(⋮11\)  ; a - 8 \(⋮13\)

\(\Rightarrow a-4+22⋮11;a-8+26⋮13\)

\(\Rightarrow a+18⋮143\) \(\Rightarrow a+18-143⋮143\)

\(\Rightarrow a-125⋮143\) \(\Rightarrow a\) chia 143 dư 125