Cho biểu thức \(B=a^3b^2-a^2b^3\) Tìm điều kiện của a,b sao cho biểu thức B ko âm
Cho biểu thức H=\((\frac{a+b}{2a-2b}\)- \(\frac{a-b}{2a+2b}\)\()\):\(\frac{2ab}{a^2-b^2}\)
a, Tìm điều kiện của a;b để giá trị của biểu thức được xác định
b, chứng minh rằng với điều kiện xác định đó , giá trị của biểu thức ko phụ thuộc vào giá trị của a và b
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện: \(a+b< =1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\dfrac{b^2}{a^2b^2+b^2+1}+\dfrac{b}{2a}\)
Cho biểu thức: \(\frac{4x^3-6x^2+8x}{2x-1}\)
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Rút gọn biểu thức.
b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức có giá trị không âm.
Cho a,b,c dương thỏa mãn điều kiện a+b+c=2. Tìm GTNN của biểu thức:
\(Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ca}+\sqrt{2c+ab}\)
Biểu thức này chỉ có max, ko có min
Cho phép mình giải max bài này ạ:
Ta có:
\(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\overset{cosi}{\le}\dfrac{a+b+a+c}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{2b+ac}\le\dfrac{b+c+b+a}{2};\sqrt{2c+ab}\le\dfrac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Tìm GTLN của biểu thức P=(a+2b+3c)(6a+3b+2c)
2) Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 3. Tìm GTLN của biểu thức P=(5a+b)(b2+4ac)
@TFBoys @Unruly Kid
1) \(P=\left(a+2b+3c\right)\left(6a+3b+2c\right)\)
\(P=\left[a+2b+3\left(1-a-b\right)\right]+\left[6a+3b+2\left(1-a-b\right)\right]=\left(3-2a-b\right)\left(2+4a+b\right)=2\left(3a-2b-b\right)\left(1+2a+\dfrac{b}{2}\right)\)
Lợi dụng AM-GM, ta có:
\(P\le2\left(\dfrac{3-2a-b+1+2a+\dfrac{b}{2}}{2}\right)^2=2.\left(\dfrac{4-\dfrac{b}{2}}{2}\right)^2=8\)
MaxP=8 khi \(a=c=\dfrac{1}{2};b=0\)
2) Sử dụng AM-GM tìm được Max=80 khi b=0;a=2c=2
cho biểu thức
P=\(\dfrac{2}{x^4-1}-\dfrac{1}{1-x^2}\)
a, tìm điều kiện của biểu thức P
b, chứng minh giá trị P luôn âm với x≠+-1
Lời giải:
a. ĐKXĐ: \(\left\{\begin{matrix}
x^4-1\neq 0\\
1-x^2\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(1-x^2)(1+x^2)\neq 0\\
1-x^2\neq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow 1-x^2\neq 0\) (do \(1+x^2>0\) với mọi x)
\(\Leftrightarrow (1-x)(1+x)\neq 0\Leftrightarrow x\neq \pm 1\)
b.
\(P=\frac{2}{(x^2-1)(x^2+1)}+\frac{1}{x^2-1}=\frac{2}{(x^2-1)(x^2+1)}+\frac{x^2+1}{(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{x^2+3}{(x^2-1)(x^2+1)}\)
$P$ vẫn nhận giá trị dương với $x=3,4,5,...$ nên bạn xem lại đề.
a) ĐKXĐ: \(x\notin\left\{1;-1\right\}\)
Cho a,b,c dương thỏa mãn điều kiện \(a^2b^2c^2+\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\)
Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3a\right)}+\frac{b^3}{\left(c+2a\right)\left(2a+3b\right)}+\frac{c^3}{\left(a+2b\right)\left(2b+3c\right)}\)
\(a^2b^2c^2+\left(a+1\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge a+b+c+ab+bc+ca+3\)
\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2+abc-2\ge0\Leftrightarrow\left(abc+2\right)\left(abc-1\right)\ge0\Leftrightarrow abc\ge1\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3a\right)}+\frac{b+2c}{45}+\frac{2c+3a}{75}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+2c\right)\left(2c+3b\right)}\cdot\frac{b+2c}{45}\cdot\frac{2c+3a}{75}}=\frac{a}{5}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+2a\right)\left(2a+3b\right)}+\frac{c+2a}{45}+\frac{2a+3b}{75}\ge\frac{b}{5}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+2b\right)\left(2b+3c\right)}+\frac{a+2b}{45}+\frac{2b+3c}{75}\ge\frac{c}{5}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1)(2)(3) ta có:
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{15}\ge\frac{a+b+c}{5}\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{15}\left(a+b+c\right)\)
Mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow S\ge\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
đây\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
Cho biểu thức:
P = 2 x 4 - 1 - 1 1 - x 2
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
b) Chứng minh giá trị của P luôn âm với x ≠ ±1
a) Ta có: x4 - 1 = (x2 + 1)(x2-1), trong đó : x2 + 1 > 0, với mọi x.
Vậy điều kiện : x2 – 1 ≠ 0
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ ±1
Do x2 + 1 > 0 với mọi x nên P < 0 với mọi x ≠ ±1
1 . )
Cho 3 số a,b,c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\)
2
cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)