\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)

\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)

\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)

Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:

\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng

Tương tự: ...

\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)

\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị

A, câu này trong đề thi thử vào cấp 3, trường Vinschool chứ gì??

ĐKXĐ \(3\ge x\ge2;4\ge y\ge3\)

\(A=\sqrt{x-2+y-3+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(y-3\right)}}=\sqrt{1+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(y-3\right)}}\ge\sqrt{1}=1\)

dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

Điều kiện \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\). Gọi T là tập giá trị  của K. Khi đó \(m\in T\) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

\(\begin{cases}x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\\x+y=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}\right)=m\\x+y=m\end{cases}\) (1)

Đặt \(u=\sqrt{x+1};v=\sqrt{y+2}\), điều kiện \(u\ge0;v\ge0\)

Thay vào (1), ta được : 

\(\begin{cases}3\left(u+v\right)=m\\u^2+v^2=m+3\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}u+v=\frac{m}{3}\\uv=\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)\end{cases}\)

Hay u và v là nghiệm của phương trình :

\(t^2-\frac{m}{3}t+\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{9}-m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow18t^2-6mt+m^2-9m-27=0\)  (2)

Hệ (1) có nghiệm x, y thỏa mãn điều kiện  \(x\ge-1\) và \(y\ge-2\) khi và chỉ khi (2) có nghiệm không âm, hay :

\(\begin{cases}\Delta'=-9\left(m^2-18m-54\right)\ge0\\S=\frac{m}{3}\ge0\\P=\frac{m^2-9m-27}{18}\ge0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le m\le9+3\sqrt{15}\)

Vậy \(T=\left[\frac{9+3\sqrt{21}}{2};9+3\sqrt{15}\right]\)

Suy ra Max K = \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\)

           Min K = \(9+3\sqrt{15}\)