\(\dfrac{1}{x+1}\)-\(\dfrac{5}{x-2}\)=\(\dfrac{15}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{x-2}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)-\(\dfrac{5\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)=\(\dfrac{15}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\)x-2-5(x+1)=15

\(\Leftrightarrow\) x-2-5x-5=15

\(\Leftrightarrow\)x-5x=15+2+5

\(\Leftrightarrow\)-4x=22

\(\Leftrightarrow\)x=-\(\dfrac{11}{2}\)

vậy

nhớ like nha

`(x-2013)/2011+(x-2011)/2009=(x-2009)/2007+(x-2007)/2005`

`<=>(x-2013)/2011+1+(x-2011)/2009+1=(x-2009)/2007+1+(x-2007)/2005+1`

`<=>(x-2)/2011+(x-2)/2009=(x-2)/2007+(x-2)/2005`

`<=>(x-2)(1/2011+1/2009-1/2007-1/2005)=0`

`<=>x-2=0`

`<=>x=2`

PT tương đương khi cả 2 PT có cùng nghiệm

`=>(x^2-(2-m).x-2m)/(x-1)` tương đương nếu nhận `x=2` là nghiệm

Thay `x=2`

`<=>(4-(2-m).2-2m)/(2-1)=0`

`<=>4-4+2m-2m=0`

`<=>0=0` luôn đúng.

Vậy phương trình `(x-2013)/2011+(x-2011)/2009=(x-2009)/2007+(x-2007)/2005` và `(x^2-(2-m).x-2m)/(x-1)` luôn tương đương với nha `forall m`

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{x-2013}{2011}+1+\dfrac{x-2011}{2009}+1=\dfrac{x-2009}{2007}+1+\dfrac{x-2007}{2005}+1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2}{2011}+\dfrac{x-2}{2009}-\dfrac{x-2}{2007}-\dfrac{x-2}{2005}=0\)

\(\Leftrightarrow x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

(1) và (2) tương đương khi và chỉ khi (1) và (2) có cùng tập nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm duy nhất x = 2

<=> x² - (2 - m)x - 2m = 0 có nghệm kép x = 2 (3) hoặc x² - (2 - m)x - 2m = 0 có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

Giải (3) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left[-\left(2-m\right)\right]^2+8m=0\\2^2-2\left(2-m\right)-2m=0\end{matrix}\right.\)

<=> m² + 4m + 4 = 0

<=> (m + 2)² = 0

<=> m = -2

Giải (4) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2^2-2\left(2-m\right)-2m=0\\1^2-\left(2-m\right)-2m=0\end{matrix}\right.\)

<=> -m - 1 = 0

<=> m = -1

Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn là -2 và -1

(1) <=> \(\dfrac{x-2013}{2011}+1+\dfrac{x-2011}{2009}+1=\dfrac{x-2009}{2007}+1+\dfrac{x-2007}{2005}+1\)

<=> \(\dfrac{x-2}{2011}+\dfrac{x-2}{2009}-\dfrac{x-2}{2007}-\dfrac{x-2}{2005}=0\)

(1) và (2) tương đương khi và chỉ khi (1) và (2) có cùng tập nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm duy nhất x = 2

<=> x² - (2 - m)x - 2m = 0 chỉ có nghệm x = 2 (3) hoặc x² - (2 - m)x - 2m = 0 có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

Giải (3) ta có:

x² - (2 - m)x - 2m = 0

<=> x² - 2x + mx - 2m = 0

<=> (x - 2)(x + m) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+m=0\end{matrix}\right.\)

Để x² - (2 - m)x - 2m = 0 chỉ có nghiệm x = 2 thì x + m = 0 có nghiệm x = 2 <=> m = -2

Giải (4) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2^2-2\left(2-m\right)-2m=0\\1^2-\left(2-m\right)-2m=0\end{matrix}\right.\)

<=> -m - 1 = 0

<=> m = -1

Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn là -2 và -1

Trường hợp 1: m=10

Phương trình sẽ là -40x+6=0

hay x=3/20

=>m=10 sẽ thỏa mãn trường hợp a

Trường hợp 2: m<>10

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\left(m-10\right)\left(m-4\right)\)

\(=16m^2-4\left(m^2-14m+40\right)\)

\(=16m^2-4m^2+56m-160\)

\(=12m^2+56m-160\)

\(=4\left(3m^2+14m-40\right)\)

\(=4\left(3m^2-6m+20m-40\right)\)

\(=4\left(m-2\right)\left(3m+20\right)\)

a: Để phương trình có nghiệm thì (m-2)(3m+20)>=0

=>m>=2 hoặc m<=-20/3

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\\dfrac{4m}{m-10}>0\\\dfrac{m-4}{m-10}>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\m\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(10;+\infty\right)\\m\in\left(-\infty;4\right)\cup\left(10;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-\dfrac{20}{3}\right)\cup\left(10;+\infty\right)\)

Phương trình có : \(\Delta=b^2-4ac=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4.1.\left(-2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(m+1\right)^2+8>0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Vi-ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài : \(\left(1-\dfrac{2}{x_1+1}\right)^2+\left(1-\dfrac{2}{x_2+1}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1-1\right)^2}{\left(x_1+1\right)^2}+\dfrac{\left(x_2-1\right)^2}{\left(x_2+1\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2}{\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2+\left[\left(x_2-1\right)\left(x_1+1\right)\right]^2-2\left[\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\right]^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2+1\right)^2\left[\left(x_1-1\right)^2-\left(x_1+1\right)^2\right]+\left(x_1+1\right)^2\left[\left(x_2-1\right)^2-\left(x_2+1\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow-4x_1\left(x_2+1\right)^2-4x_2\left(x_1+1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2^2+2x_1x_2+x_1+x_1^2x_2+2x_1x_2+x_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+4x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow-2\left(m+1\right)+4\cdot\left(-2\right)+m+1=0\)

\(\Leftrightarrow m=-9\)

Vậy : \(m=-9.\)

a: Thay m=-5 vào (1), ta được:

\(x^2+2\left(-5+1\right)x-5-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-8x-9=0\)

=>(x-9)(x+1)=0

=>x=9 hoặc x=-1

b: \(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m-4\right)=4m^2+8m+4-4m+16=4m^2+4m+20>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=-3\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=-3x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2+m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+9m=0\)

=>m(4m+9)=0

=>m=0 hoặc m=-9/4

1:

\(=\left(\dfrac{1}{x-2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{3\sqrt{x}-6}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+3}{3\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{3+2\sqrt{x}}{3\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Δ=(2m-2)^2-4(m-3)

=4m^2-8m+4-4m+12

=4m^2-12m+16

=4m^2-12m+9+7=(2m-3)^2+7>=7>0 với mọi m

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

\(\left(\dfrac{1}{x1}-\dfrac{1}{x2}\right)^2=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}-\dfrac{2}{x_1x_2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)}{\left(x_1\cdot x_2\right)^2}-\dfrac{2}{x_1\cdot x_2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{\left(2m-2\right)^2-2\left(m-3\right)}{\left(-m+3\right)^2}-\dfrac{2}{-m+3}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{4m^2-8m+4-2m+6}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\dfrac{4m^2-10m+10+2m-6}{\left(m-3\right)^2}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}\)

=>\(\sqrt{11}\left(m-3\right)^2=2\left(4m^2-8m+4\right)\)

=>\(\sqrt{11}\left(m-3\right)^2=2\left(2m-2\right)^2\)

=>\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m-3}{2m-2}\right)^2=\dfrac{2}{\sqrt{11}}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-3}{2m-2}=\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{11}}}\\\dfrac{m-3}{2m-2}=-\sqrt{\dfrac{2}{\sqrt{11}}}\end{matrix}\right.\)

mà m nguyên

nên \(m\in\varnothing\)

3.

Đặt \(f\left(x\right)=x^4-3x^3+x-\dfrac{1}{8}\)

Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R

Do \(f\left(x\right)\) là đa thức bậc 4 nên có tối đa 4 nghiệm

Ta có: \(f\left(-1\right)=\dfrac{23}{8}>0\)

\(f\left(0\right)=-\dfrac{1}{8}< 0\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)

\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{16}>0\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\dfrac{1}{2}\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(f\left(1\right)=-\dfrac{9}{8}< 0\Rightarrow f\left(\dfrac{1}{2}\right).f\left(1\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)

\(f\left(3\right)=\dfrac{23}{8}>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(3\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;3\right)\)

Vậy pt có 4 nghiệm thuộc các khoảng nói trên

4.

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{x^2+ax+2017}+x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{ax+2017}{\sqrt{x^2+ax+2017}-x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{a+\dfrac{2017}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{2017}{x^2}}-1}=-\dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{a}{2}=6\Rightarrow a=-12\)